Номер 21, страница 82, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Молекулярная физика и термодинамика. Глава VI. Термодинамика. Параграф 34. Изменения агрегатных состояний вещества - номер 21, страница 82.

Условие.

21. В калориметр, содержащий 1,5 л воды при температуре 20 $^\circ$С, кладут лёд, температура которого равна -10 $^\circ$С. Какая температура установится в калориметре, если масса льда равна:

а) 40 кг;

б) 200 г?

Решение 2.

Дано:

$V_в = 1,5$ л (объем воды)

$t_в = 20$ °C (начальная температура воды)

$t_л = -10$ °C (начальная температура льда)

$m_{л,а} = 40$ кг (масса льда в случае а)

$m_{л,б} = 200$ г (масса льда в случае б)

$\rho_в = 1000$ кг/м³ (плотность воды)

$c_в = 4200$ Дж/(кг·°C) (удельная теплоемкость воды)

$c_л = 2100$ Дж/(кг·°C) (удельная теплоемкость льда)

$\lambda = 3,3 \cdot 10^5$ Дж/кг (удельная теплота плавления льда)

Перевод в систему СИ:
$V_в = 1,5 \text{ л} = 1,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$
$m_в = \rho_в \cdot V_в = 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 1,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 1,5 \text{ кг}$
$m_{л,б} = 200 \text{ г} = 0,2 \text{ кг}$

Найти:

$\theta_а$ — установившаяся температура в случае а)

$\theta_б$ — установившаяся температура в случае б)

Решение:

Рассматриваем калориметр как замкнутую систему, в которой происходит теплообмен между водой и льдом. По закону сохранения энергии, количество теплоты, отданное более нагретыми телами, равно количеству теплоты, полученному менее нагретыми.

а) Масса льда 40 кг

Сначала оценим, достаточно ли тепла от воды, чтобы хотя бы нагреть весь лед до температуры плавления (0 °C).

Максимальное количество теплоты, которое может отдать вода, охладившись от 20 °C до 0 °C:
$Q_{отд.макс} = c_в m_в (t_в - 0) = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{°C}} \cdot 1,5 \text{ кг} \cdot (20 - 0)\text{°C} = 126000 \text{ Дж}$.

Количество теплоты, необходимое для нагревания льда от -10 °C до 0 °C:
$Q_{нагр.льда} = c_л m_{л,а} (0 - t_л) = 2100 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{°C}} \cdot 40 \text{ кг} \cdot (0 - (-10))\text{°C} = 840000 \text{ Дж}$.

Так как $Q_{отд.макс} < Q_{нагр.льда}$ ($126000 \text{ Дж} < 840000 \text{ Дж}$), вода не сможет даже нагреть весь лед до 0 °C. Это означает, что вся вода охладится до 0 °C, замерзнет, и образовавшийся лед будет охлаждаться дальше, пока не установится общая температура $\theta_а < 0$ °C.

Составим уравнение теплового баланса. Теплота, отданная водой, пойдет на нагревание льда.
Теплота, отданная водой при охлаждении до 0 °C: $Q_1 = c_в m_в (t_в - 0)$.
Теплота, выделившаяся при замерзании воды: $Q_2 = \lambda m_в$.
Теплота, отданная образовавшимся льдом при охлаждении от 0 °C до $\theta_а$: $Q_3 = c_л m_в (0 - \theta_а)$.
Теплота, полученная исходным льдом при нагревании от -10 °C до $\theta_а$: $Q_4 = c_л m_{л,а} (\theta_а - t_л)$.

$Q_1 + Q_2 + Q_3 = Q_4$
$c_в m_в (t_в - 0) + \lambda m_в + c_л m_в (0 - \theta_а) = c_л m_{л,а} (\theta_а - t_л)$
$126000 + 3,3 \cdot 10^5 \cdot 1,5 + 2100 \cdot 1,5 \cdot (-\theta_а) = 2100 \cdot 40 \cdot (\theta_а - (-10))$
$126000 + 495000 - 3150 \theta_а = 84000 (\theta_а + 10)$
$621000 - 3150 \theta_а = 84000 \theta_а + 840000$
$621000 - 840000 = 84000 \theta_а + 3150 \theta_а$
$-219000 = 87150 \theta_а$
$\theta_а = \frac{-219000}{87150} \approx -2,5$ °C

Ответ: Установится температура приблизительно -2,5 °C.

б) Масса льда 200 г

Аналогично проведем оценку.

Количество теплоты, необходимое для нагревания льда от -10 °C до 0 °C:
$Q_{нагр.льда} = c_л m_{л,б} (0 - t_л) = 2100 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{°C}} \cdot 0,2 \text{ кг} \cdot (0 - (-10))\text{°C} = 4200 \text{ Дж}$.

Количество теплоты, необходимое для плавления всего льда при 0 °C:
$Q_{плавл.} = \lambda m_{л,б} = 3,3 \cdot 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} \cdot 0,2 \text{ кг} = 66000 \text{ Дж}$.

Суммарное количество теплоты для нагрева и плавления льда:
$Q_{полн} = Q_{нагр.льда} + Q_{плавл.} = 4200 + 66000 = 70200 \text{ Дж}$.

Максимальное количество теплоты, которое может отдать вода, охладившись до 0 °C, составляет $Q_{отд.макс} = 126000 \text{ Дж}$.

Так как $Q_{отд.макс} > Q_{полн}$ ($126000 \text{ Дж} > 70200 \text{ Дж}$), тепла от воды будет достаточно, чтобы нагреть весь лед до 0 °C, расплавить его, и нагреть получившуюся воду до некоторой конечной температуры $\theta_б > 0$ °C.

Составим уравнение теплового баланса. Теплота, отданная исходной водой при охлаждении от 20 °C до $\theta_б$, равна сумме теплоты, поглощенной льдом при нагреве, плавлении и последующем нагреве талой воды до $\theta_б$.
$Q_{отд} = Q_{получ}$
$c_в m_в (t_в - \theta_б) = c_л m_{л,б} (0 - t_л) + \lambda m_{л,б} + c_в m_{л,б} (\theta_б - 0)$
$4200 \cdot 1,5 \cdot (20 - \theta_б) = 4200 + 66000 + 4200 \cdot 0,2 \cdot \theta_б$
$6300 (20 - \theta_б) = 70200 + 840 \theta_б$
$126000 - 6300 \theta_б = 70200 + 840 \theta_б$
$126000 - 70200 = 6300 \theta_б + 840 \theta_б$
$55800 = 7140 \theta_б$
$\theta_б = \frac{55800}{7140} \approx 7,8$ °C

Ответ: Установится температура приблизительно 7,8 °C.