Номер 14, страница 81, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Молекулярная физика и термодинамика. Глава VI. Термодинамика. Параграф 34. Изменения агрегатных состояний вещества - номер 14, страница 81.

Условие.

14. В калориметр, содержащий 1,5 л воды при температуре 20 °C, кладут кусок льда при температуре –10 °C. Какова может быть начальная масса льда, если после установления теплового равновесия в калориметре находится:

а) только лёд;

б) только вода;

в) лёд и вода в тепловом равновесии?

Решение 2.

Дано:

$V_в = 1,5 \text{ л}$
$t_в = 20 \text{ °C}$
$t_л = -10 \text{ °C}$
$c_в = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$ (удельная теплоёмкость воды)
$c_л = 2100 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$ (удельная теплоёмкость льда)
$\lambda = 3,3 \cdot 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$ (удельная теплота плавления льда)
$\rho_в = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$ (плотность воды)

Перевод в СИ:
Объём воды: $V_в = 1,5 \text{ л} = 1,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$
Масса воды: $m_в = \rho_в \cdot V_в = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 1,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 1,5 \text{ кг}$
Температура фазового перехода воды: $t_0 = 0 \text{ °C}$

Найти:

$m_л$ — начальная масса льда для случаев:

а) в калориметре только лёд;

б) в калориметре только вода;

в) в калориметре лёд и вода.

Решение:

Решение основано на уравнении теплового баланса для изолированной системы (калориметра): количество теплоты, отданное более нагретыми телами, равно количеству теплоты, полученному более холодными. $Q_{отданное} = Q_{полученное}$. Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) только лёд

Для того, чтобы в калориметре остался только лёд, вся вода должна остыть до $0 \text{ °C}$ и полностью замерзнуть. Конечная температура системы будет $t_к \le 0 \text{ °C}$. Это произойдет, если количество теплоты, которое может поглотить лёд при нагревании до $0 \text{ °C}$, $Q_{погл} = c_л m_л (t_0 - t_л)$, будет больше или равно количеству теплоты, которое отдаст вода при остывании и полной кристаллизации, $Q_{отд} = c_в m_в (t_в - t_0) + \lambda m_в$.

Запишем условие в виде неравенства: $Q_{погл} \ge Q_{отд}$

$c_л m_л (t_0 - t_л) \ge c_в m_в (t_в - t_0) + \lambda m_в$

Выразим отсюда минимальную массу льда $m_л$:

$m_л \ge \frac{c_в m_в (t_в - t_0) + \lambda m_в}{c_л (t_0 - t_л)}$

Подставим числовые значения и произведем расчет:

$m_л \ge \frac{4200 \cdot 1,5 \cdot (20 - 0) + 3,3 \cdot 10^5 \cdot 1,5}{2100 \cdot (0 - (-10))} = \frac{126000 + 495000}{21000} = \frac{621000}{21000} \approx 29,6 \text{ кг}$

Ответ: масса льда должна быть не менее 29,6 кг ($m_л \ge 29,6 \text{ кг}$).

б) только вода

Для того, чтобы в калориметре осталась только вода, весь лёд должен нагреться до $0 \text{ °C}$ и полностью растаять. Конечная температура системы будет $t_к \ge 0 \text{ °C}$. Это произойдет, если количество теплоты, отданное водой при остывании до $0 \text{ °C}$, $Q_{отд} = c_в m_в (t_в - t_0)$, будет больше или равно количеству теплоты, которое поглотит лёд при нагревании до $0 \text{ °C}$ и полном плавлении, $Q_{погл} = c_л m_л (t_0 - t_л) + \lambda m_л$.

Запишем условие в виде неравенства: $Q_{отд} \ge Q_{погл}$

$c_в m_в (t_в - t_0) \ge c_л m_л (t_0 - t_л) + \lambda m_л$

Выразим отсюда максимальную массу льда $m_л$:

$m_л \le \frac{c_в m_в (t_в - t_0)}{c_л (t_0 - t_л) + \lambda}$

Подставим числовые значения и произведем расчет:

$m_л \le \frac{4200 \cdot 1,5 \cdot (20 - 0)}{2100 \cdot (0 - (-10)) + 3,3 \cdot 10^5} = \frac{126000}{21000 + 330000} = \frac{126000}{351000} \approx 0,359 \text{ кг}$

Ответ: масса льда должна быть не более 0,359 кг ($0 < m_л \le 0,359 \text{ кг}$).

в) лёд и вода в тепловом равновесии

Это состояние возможно только при температуре равновесия $t_к = 0 \text{ °C}$, когда в системе одновременно присутствуют и лёд, и вода. Это происходит, когда тепла, отданного водой при охлаждении до $0 \text{ °C}$, достаточно, чтобы нагреть весь лёд до $0 \text{ °C}$, но недостаточно, чтобы его полностью растопить. Это означает, что масса льда должна быть больше максимального значения из пункта (б) (чтобы не весь лед растаял) и меньше минимального значения из пункта (а) (чтобы не вся вода замерзла).

Таким образом, масса льда должна находиться в интервале между двумя найденными пограничными значениями:

$0,359 \text{ кг} < m_л < 29,6 \text{ кг}$

Ответ: масса льда должна быть в интервале от 0,359 кг до 29,6 кг ($0,359 \text{ кг} < m_л < 29,6 \text{ кг}$).