Номер 12, страница 80, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Молекулярная физика и термодинамика. Глава VI. Термодинамика. Параграф 34. Изменения агрегатных состояний вещества - номер 12, страница 80.

Условие.

12. В атмосферу Земли влетает железный метеорит, имеющий температуру, равную $-260 \space ^\circ \text{C}$. Вследствие сопротивления воздуха при движении сквозь атмосферу 80 % кинетической энергии метеорита переходит в его внутреннюю энергию. Удельная теплоёмкость железа равна 460 $\frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot ^\circ \text{C}}$, температура плавления $1540 \space ^\circ \text{C}$, удельная теплота плавления 270 $\text{кДж/кг}$.

a) При какой минимальной скорости входа в атмосферу метеорит нагреется до температуры плавления?

б) Какая часть массы метеорита расплавится, если при входе в атмосферу его скорость равна 1,6 $\text{км/с}$?

Решение 2.

Дано:

$t_{1} = -260$ °C (начальная температура метеорита)

$\eta = 80\%$ (доля кинетической энергии, переходящей во внутреннюю)

$c = 460 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$ (удельная теплоёмкость железа)

$t_{пл} = 1540$ °C (температура плавления железа)

$\lambda = 270 \frac{кДж}{кг}$ (удельная теплота плавления железа)

$v_{b} = 1,6 \frac{км}{с}$ (скорость метеорита для пункта б)

Перевод в систему СИ:

$\eta = 0,8$

$\lambda = 270 \cdot 10^3 \frac{Дж}{кг} = 270000 \frac{Дж}{кг}$

$v_{b} = 1,6 \cdot 10^3 \frac{м}{с} = 1600 \frac{м}{с}$

Найти:

а) $v_{a}$ - минимальная скорость для нагрева до температуры плавления.

б) $\frac{m_{расплав}}{m_{общ}}$ - часть расплавившейся массы при скорости $v_b$.

Решение:

а) При какой минимальной скорости входа в атмосферу метеорит нагреется до температуры плавления?

Для того чтобы метеорит нагрелся до температуры плавления, его внутренняя энергия должна увеличиться на величину $Q_1$, необходимую для нагрева всей массы метеорита $\text{m}$ от начальной температуры $t_1$ до температуры плавления $t_{пл}$.

Количество теплоты для нагрева вычисляется по формуле:

$Q_1 = c \cdot m \cdot (t_{пл} - t_1)$

Эта энергия, согласно условию, составляет 80% от начальной кинетической энергии метеорита $E_k$.

$E_k = \frac{m \cdot v_a^2}{2}$

Составим уравнение энергетического баланса:

$\eta \cdot E_k = Q_1$

$0,8 \cdot \frac{m \cdot v_a^2}{2} = c \cdot m \cdot (t_{пл} - t_1)$

Масса метеорита $\text{m}$ сокращается. Выразим скорость $v_a$:

$0,4 \cdot v_a^2 = c \cdot (t_{пл} - t_1)$

$v_a^2 = \frac{c \cdot (t_{пл} - t_1)}{0,4}$

$v_a = \sqrt{\frac{c \cdot (t_{пл} - t_1)}{0,4}}$

Подставим числовые значения:

$v_a = \sqrt{\frac{460 \frac{Дж}{кг \cdot °C} \cdot (1540 °C - (-260 °C))}{0,4}} = \sqrt{\frac{460 \cdot 1800}{0,4}} = \sqrt{\frac{828000}{0,4}} = \sqrt{2070000} \approx 1438,7 \frac{м}{с}$

Округлим до 1,44 км/с.

Ответ: Минимальная скорость входа в атмосферу, при которой метеорит нагреется до температуры плавления, составляет примерно 1440 м/с (или 1,44 км/с).

б) Какая часть массы метеорита расплавится, если при входе в атмосферу его скорость равна 1,6 км/с?

При скорости $v_b = 1600 \frac{м}{с}$ часть кинетической энергии, перешедшая во внутреннюю, пойдет сначала на нагрев всего метеорита до температуры плавления ($Q_1$), а затем оставшаяся часть энергии ($Q_2$) пойдет на плавление некоторой части массы метеорита $m_{расплав}$.

Общая энергия, перешедшая в тепло:

$Q_{общ} = \eta \cdot E_k = 0,8 \cdot \frac{m_{общ} \cdot v_b^2}{2} = 0,4 \cdot m_{общ} \cdot v_b^2$

Энергия, необходимая для нагрева всего метеорита до температуры плавления:

$Q_1 = c \cdot m_{общ} \cdot (t_{пл} - t_1)$

Энергия, необходимая для плавления части массы $m_{расплав}$:

$Q_2 = \lambda \cdot m_{расплав}$

Составим уравнение энергетического баланса:

$Q_{общ} = Q_1 + Q_2$

$0,4 \cdot m_{общ} \cdot v_b^2 = c \cdot m_{общ} \cdot (t_{пл} - t_1) + \lambda \cdot m_{расплав}$

Нам нужно найти отношение $\frac{m_{расплав}}{m_{общ}}$. Для этого разделим все уравнение на $m_{общ}$:

$0,4 \cdot v_b^2 = c \cdot (t_{пл} - t_1) + \lambda \cdot \frac{m_{расплав}}{m_{общ}}$

Выразим искомое отношение:

$\lambda \cdot \frac{m_{расплав}}{m_{общ}} = 0,4 \cdot v_b^2 - c \cdot (t_{пл} - t_1)$

$\frac{m_{расплав}}{m_{общ}} = \frac{0,4 \cdot v_b^2 - c \cdot (t_{пл} - t_1)}{\lambda}$

Подставим числовые значения в СИ:

$\frac{m_{расплав}}{m_{общ}} = \frac{0,4 \cdot (1600 \frac{м}{с})^2 - 460 \frac{Дж}{кг \cdot °C} \cdot (1540 °C - (-260 °C))}{270000 \frac{Дж}{кг}}$

$\frac{m_{расплав}}{m_{общ}} = \frac{0,4 \cdot 2560000 - 460 \cdot 1800}{270000} = \frac{1024000 - 828000}{270000} = \frac{196000}{270000} = \frac{196}{270} \approx 0,726$

Это означает, что расплавится примерно 72,6% массы метеорита.

Ответ: Расплавится примерно 0,726 (или 72,6%) массы метеорита.