Номер 37, страница 97, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Электростатика и постоянный электрический ток. Глава VII. Электростатика. Параграф 35. Электрические взаимодействия - номер 37, страница 97.

Условие.

37. Суммарный заряд двух маленьких металлических шариков равен $6 \text{ мкКл}$. Во сколько раз заряд одного шарика больше заряда другого, если они отталкиваются с силами, равными $72 \text{ мН}$, когда находятся на расстоянии $1 \text{ м}$ друг от друга?

Решение 2.

Дано:

$Q_{общ} = q_1 + q_2 = 6 \text{ мкКл} = 6 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

$F = 72 \text{ мН} = 72 \cdot 10^{-3} \text{ Н}$

$r = 1 \text{ м}$

$k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$ (электрическая постоянная)

Найти:

$\frac{q_1}{q_2}$ — ? (где $q_1 > q_2$)

Решение:

Сила взаимодействия двух точечных зарядов определяется законом Кулона:

$F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$

Поскольку шарики отталкиваются, их заряды имеют одинаковый знак. Следовательно, их произведение $q_1 q_2$ будет положительным, и знак модуля можно опустить.

$F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$

Выразим из этой формулы произведение зарядов $q_1 q_2$:

$q_1 q_2 = \frac{F r^2}{k}$

Подставим числовые значения:

$q_1 q_2 = \frac{72 \cdot 10^{-3} \text{ Н} \cdot (1 \text{ м})^2}{9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}} = 8 \cdot 10^{-12} \text{ Кл}^2$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $q_1$ и $q_2$:

$ \begin{cases} q_1 + q_2 = 6 \cdot 10^{-6} \\ q_1 q_2 = 8 \cdot 10^{-12} \end{cases} $

Эту систему удобно решить с помощью теоремы Виета. Заряды $q_1$ и $q_2$ являются корнями квадратного уравнения вида $x^2 - (q_1 + q_2)x + q_1q_2 = 0$.

Подставим наши значения:

$x^2 - (6 \cdot 10^{-6})x + 8 \cdot 10^{-12} = 0$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-(6 \cdot 10^{-6}))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (8 \cdot 10^{-12}) = 36 \cdot 10^{-12} - 32 \cdot 10^{-12} = 4 \cdot 10^{-12}$

Теперь найдем корни уравнения, которые и будут нашими зарядами:

$q_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \cdot 10^{-6} + \sqrt{4 \cdot 10^{-12}}}{2} = \frac{6 \cdot 10^{-6} + 2 \cdot 10^{-6}}{2} = \frac{8 \cdot 10^{-6}}{2} = 4 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

$q_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \cdot 10^{-6} - \sqrt{4 \cdot 10^{-12}}}{2} = \frac{6 \cdot 10^{-6} - 2 \cdot 10^{-6}}{2} = \frac{4 \cdot 10^{-6}}{2} = 2 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

Мы нашли величины зарядов: $q_1 = 4$ мкКл и $q_2 = 2$ мкКл.

Осталось найти, во сколько раз заряд одного шарика больше заряда другого:

$\frac{q_1}{q_2} = \frac{4 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}}{2 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}} = 2$

Ответ: Заряд одного шарика в 2 раза больше заряда другого.