Номер 38, страница 97, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Электростатика и постоянный электрический ток. Глава VII. Электростатика. Параграф 35. Электрические взаимодействия - номер 38, страница 97.

Условие.

38. Когда расстояние между одинаковыми металлическими заряженными шариками равно $1 \text{ м}$, они притягиваются с силами, равными $135 \text{ мН}$. С помощью пластмассового пинцета шарики приводят в соприкосновение, а затем возвращают в начальное положение, после чего шарики отталкиваются с силами, равными $9 \text{ мН}$. Чему равны начальные заряды шариков?

Решение 2.

Дано:

Расстояние между шариками, $r = 1$ м
Начальная сила (притяжение), $F_1 = 135$ мН
Конечная сила (отталкивание), $F_2 = 9$ мН
Коэффициент пропорциональности в законе Кулона, $k = 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл²

Перевод в систему СИ:
$F_1 = 135 \cdot 10^{-3}$ Н
$F_2 = 9 \cdot 10^{-3}$ Н

Найти:

Начальные заряды шариков $q_1$ и $q_2$.

Решение:

1. До соприкосновения шарики притягиваются, следовательно, их начальные заряды $q_1$ и $q_2$ имеют противоположные знаки. Сила их взаимодействия определяется законом Кулона:

$F_1 = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$

Так как знаки зарядов противоположны, их произведение $q_1 q_2$ отрицательно, и $|q_1 q_2| = -q_1 q_2$.

$F_1 = -k \frac{q_1 q_2}{r^2}$

Из этого уравнения можно выразить произведение начальных зарядов:

$q_1 q_2 = -\frac{F_1 r^2}{k} = -\frac{135 \cdot 10^{-3} \cdot 1^2}{9 \cdot 10^9} = -15 \cdot 10^{-12}$ Кл².

2. Когда одинаковые металлические шарики приводят в соприкосновение, их общий заряд $(q_1 + q_2)$ распределяется между ними поровну. Заряд каждого шарика после соприкосновения становится $q'$:

$q' = \frac{q_1 + q_2}{2}$

3. После того как шарики развели на прежнее расстояние, они отталкиваются. Это означает, что их новые заряды $q'$ одного знака. Сила отталкивания $F_2$ равна:

$F_2 = k \frac{q'^2}{r^2} = k \frac{(\frac{q_1 + q_2}{2})^2}{r^2} = k \frac{(q_1 + q_2)^2}{4r^2}$

Отсюда выразим квадрат суммы начальных зарядов:

$(q_1 + q_2)^2 = \frac{4 F_2 r^2}{k} = \frac{4 \cdot 9 \cdot 10^{-3} \cdot 1^2}{9 \cdot 10^9} = 4 \cdot 10^{-12}$ Кл².

Извлекая квадратный корень, находим модуль суммы зарядов:

$|q_1 + q_2| = \sqrt{4 \cdot 10^{-12}} = 2 \cdot 10^{-6}$ Кл.

Таким образом, $q_1 + q_2 = \pm 2 \cdot 10^{-6}$ Кл.

4. Мы получили систему уравнений для нахождения $q_1$ и $q_2$:

$\begin{cases} q_1 + q_2 = S \\ q_1 q_2 = P \end{cases}$

где $P = -15 \cdot 10^{-12}$ Кл², а $S = \pm 2 \cdot 10^{-6}$ Кл.

По теореме Виета, $q_1$ и $q_2$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - Sx + P = 0$.

Рассмотрим случай, когда $S = 2 \cdot 10^{-6}$ Кл:

$x^2 - (2 \cdot 10^{-6})x - 15 \cdot 10^{-12} = 0$.

Дискриминант $D = S^2 - 4P = (2 \cdot 10^{-6})^2 - 4(-15 \cdot 10^{-12}) = 4 \cdot 10^{-12} + 60 \cdot 10^{-12} = 64 \cdot 10^{-12}$ (Кл)².

$\sqrt{D} = 8 \cdot 10^{-6}$ Кл.

Находим корни уравнения (заряды $q_1$ и $q_2$):

$q_1 = \frac{S + \sqrt{D}}{2} = \frac{2 \cdot 10^{-6} + 8 \cdot 10^{-6}}{2} = 5 \cdot 10^{-6}$ Кл = 5 мкКл.

$q_2 = \frac{S - \sqrt{D}}{2} = \frac{2 \cdot 10^{-6} - 8 \cdot 10^{-6}}{2} = -3 \cdot 10^{-6}$ Кл = -3 мкКл.

Если рассмотреть случай $S = -2 \cdot 10^{-6}$ Кл, то мы получим те же значения зарядов, но с противоположными знаками: $-5$ мкКл и $\text{3}$ мкКл. Поскольку в задаче не указано, какой из шариков имел положительный, а какой отрицательный заряд, оба решения являются эквивалентными.

Ответ:

Начальные заряды шариков равны $\text{5}$ мкКл и $-3$ мкКл.