Номер 31, страница 96, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Электростатика и постоянный электрический ток. Глава VII. Электростатика. Параграф 35. Электрические взаимодействия - номер 31, страница 96.

Условие.

31. Когда расстояние между двумя точечными зарядами уменьшили на 0,5 м, силы взаимодействия между ними увеличились в 2 раза. На каком расстоянии друг от друга находились точечные заряды первоначально?

Решение 2.

Дано:

$\Delta r = 0,5$ м (уменьшение расстояния)

$\frac{F_2}{F_1} = 2$

Найти:

$r_1$ - ?

Решение:

Сила электростатического взаимодействия между двумя точечными зарядами описывается законом Кулона:

$F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$

где $\text{F}$ – сила взаимодействия, $\text{k}$ – коэффициент пропорциональности, $q_1$ и $q_2$ – величины зарядов, а $\text{r}$ – расстояние между ними.

Запишем выражения для силы взаимодействия в начальном и конечном состояниях.

1. Начальное состояние:

Расстояние между зарядами равно $r_1$. Сила взаимодействия равна:

$F_1 = k \frac{|q_1 q_2|}{r_1^2}$

2. Конечное состояние:

Расстояние между зарядами уменьшили на $\Delta r = 0,5$ м. Новое расстояние $r_2$ равно:

$r_2 = r_1 - \Delta r = r_1 - 0,5$

Сила взаимодействия при этом стала равна $F_2$:

$F_2 = k \frac{|q_1 q_2|}{r_2^2} = k \frac{|q_1 q_2|}{(r_1 - 0,5)^2}$

По условию задачи, сила взаимодействия увеличилась в 2 раза, то есть $F_2 = 2F_1$.

Подставим выражения для $F_1$ и $F_2$ в это соотношение:

$k \frac{|q_1 q_2|}{(r_1 - 0,5)^2} = 2 \cdot k \frac{|q_1 q_2|}{r_1^2}$

Сократим в обеих частях уравнения одинаковый множитель $k|q_1 q_2|$ (так как заряды не равны нулю):

$\frac{1}{(r_1 - 0,5)^2} = \frac{2}{r_1^2}$

Преобразуем это уравнение:

$r_1^2 = 2(r_1 - 0,5)^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку расстояние $r_1$ является положительной величиной, получаем:

$r_1 = \sqrt{2}(r_1 - 0,5)$

Теперь решим это уравнение относительно $r_1$:

$r_1 = \sqrt{2}r_1 - 0,5\sqrt{2}$

$\sqrt{2}r_1 - r_1 = 0,5\sqrt{2}$

$r_1(\sqrt{2} - 1) = 0,5\sqrt{2}$

$r_1 = \frac{0,5\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1}$

Чтобы упростить выражение, избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2} + 1)$:

$r_1 = \frac{0,5\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{0,5(2 + \sqrt{2})}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{0,5(2 + \sqrt{2})}{2 - 1} = 1 + 0,5\sqrt{2}$

Вычислим приближенное значение, приняв $\sqrt{2} \approx 1,414$:

$r_1 \approx 1 + 0,5 \cdot 1,414 = 1 + 0,707 = 1,707$ м.

Округляя, получаем $r_1 \approx 1,71$ м.

Ответ: первоначально точечные заряды находились на расстоянии $1+0,5\sqrt{2}$ м, что приблизительно равно 1,71 м.