Номер 20, страница 105, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Электростатика и постоянный электрический ток. Глава VII. Электростатика. Параграф 36. Напряжённость электрического поля. Линии напряжённости - номер 20, страница 105.

Условие.

20. В центре металлической равномерно заряженной сферы радиусом 10 см с отрицательным зарядом, равным $-9 \text{ нКл}$, помещён точечный положительный заряд $6 \text{ нКл}$. Чему равна по модулю напряжённость результирующего поля:

a) на расстоянии 6 см от центра сферы;

б) на расстоянии 12 см от центра сферы?

Решение 2.

Дано:

Радиус сферы, $R = 10 \text{ см}$
Заряд сферы, $Q = -9 \text{ нКл}$
Точечный заряд в центре, $q_1 = 6 \text{ нКл}$
Расстояние до первой точки, $r_1 = 6 \text{ см}$
Расстояние до второй точки, $r_2 = 12 \text{ см}$
Коэффициент пропорциональности в законе Кулона, $k \approx 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$

Перевод в систему СИ:
$R = 0.1 \text{ м}$
$Q = -9 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$
$q_1 = 6 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$
$r_1 = 0.06 \text{ м}$
$r_2 = 0.12 \text{ м}$

Найти:

$E_1$ - модуль напряжённости на расстоянии $r_1$
$E_2$ - модуль напряжённости на расстоянии $r_2$

Решение:

а) на расстоянии 6 см от центра сферы;

Точка, для которой вычисляется напряжённость, находится на расстоянии $r_1 = 6 \text{ см}$ от центра, что меньше радиуса сферы $R = 10 \text{ см}$. Следовательно, эта точка находится внутри полости металлической сферы.
Согласно теореме Гаусса, электрическое поле в любой точке внутри полости создаётся только зарядами, находящимися внутри этой полости. В нашем случае, воображаемая сфера радиусом $r_1$ окружает только центральный точечный заряд $q_1$. Заряд $\text{Q}$ самой сферы и индуцированные им заряды находятся на её поверхностях (на расстоянии $\text{R}$ от центра) и не создают поля внутри полости (их действие скомпенсировано).
Таким образом, модуль напряжённости поля в этой точке равен модулю напряжённости поля, создаваемого точечным зарядом $q_1$:
$E_1 = k \frac{|q_1|}{r_1^2}$
Подставим числовые значения:
$E_1 = 9 \cdot 10^9 \frac{6 \cdot 10^{-9}}{(0.06)^2} = \frac{54}{0.0036} = 15000 \frac{\text{В}}{\text{м}} = 15 \frac{\text{кВ}}{\text{м}}$
Ответ: $15 \frac{\text{кВ}}{\text{м}}$.

б) на расстоянии 12 см от центра сферы;

Точка, для которой вычисляется напряжённость, находится на расстоянии $r_2 = 12 \text{ см}$ от центра, что больше радиуса сферы $R = 10 \text{ см}$. Следовательно, эта точка находится снаружи сферы.
Согласно теореме Гаусса, для любой точки вне сферически симметричного распределения зарядов, поле, создаваемое этим распределением, эквивалентно полю точечного заряда, расположенного в центре, величина которого равна суммарному заряду всей системы.
Найдем суммарный заряд системы $q_{общ}$:
$q_{общ} = q_1 + Q = 6 \text{ нКл} + (-9 \text{ нКл}) = -3 \text{ нКл} = -3 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$
Модуль напряжённости результирующего поля в точке на расстоянии $r_2$ определяется по формуле:
$E_2 = k \frac{|q_{общ}|}{r_2^2} = k \frac{|q_1 + Q|}{r_2^2}$
Подставим числовые значения:
$E_2 = 9 \cdot 10^9 \frac{|-3 \cdot 10^{-9}|}{(0.12)^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{3 \cdot 10^{-9}}{0.0144} = \frac{27}{0.0144} = 1875 \frac{\text{В}}{\text{м}} \approx 1.9 \frac{\text{кВ}}{\text{м}}$
Ответ: $1875 \frac{\text{В}}{\text{м}}$ (или приблизительно $1.9 \frac{\text{кВ}}{\text{м}}$).