Номер 6, страница 112, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Электростатика и постоянный электрический ток. Глава VII. Электростатика. Параграф 37. Проводники и диэлектрики в электрическом поле - номер 6, страница 112.

Условие.

6. На нитях одинаковой длины $\text{l}$, закреплённых вверху в одной точке, подвешены два шарика массой $\text{m}$ каждый. Положительные заряды шариков равны $q_1$ и $q_2$ (рис. 37.6). Шарики находятся в равновесии.

а) Почему нити отклонились от вертикали?

б) На одинаковый ли угол отклонились обе нити от вертикали?

в) Сделайте чертёж и изобразите на нём все силы, действующие на каждый шарик. Рис. 37.6

г) Запишите соотношение между действующими на один шарик силой тяжести, силой отталкивания со стороны другого шарика и углом $\alpha$ между нитью и вертикалью.

д) Выразите расстояние $\text{r}$ между шариками через $\text{l}$ и $\alpha$.

е) Запишите соотношение, которое связывает $m, l, \alpha, q_1$ и $q_2$.

ж) Какие задачи можно поставить, используя это соотношение?

Решение 2.

Дано:

Длина нитей: $\text{l}$

Масса каждого шарика: $\text{m}$

Заряды шариков: $q_1$ и $q_2$ (положительные)

Шарики находятся в равновесии.

Найти:

а) Причину отклонения нитей.

б) Сравнить углы отклонения нитей.

в) Изобразить силы, действующие на шарик.

г) Соотношение между силой тяжести, силой отталкивания и углом $\alpha$.

д) Выражение для расстояния $\text{r}$ через $\text{l}$ и $\alpha$.

е) Соотношение, связывающее $m, l, \alpha, q_1, q_2$.

ж) Примеры задач, которые можно решить с помощью этого соотношения.

Решение:

а) Почему нити отклонились от вертикали?

Шарики имеют одноименные (положительные) заряды $q_1$ и $q_2$. Согласно закону Кулона, одноименные заряды отталкиваются. Возникающая между шариками сила кулоновского отталкивания направлена горизонтально и заставляет их разойтись на некоторое расстояние друг от друга. В результате нити, на которых подвешены шарики, отклоняются от вертикального положения до тех пор, пока система не придет в равновесие.

Ответ: Нити отклонились от вертикали из-за силы электростатического отталкивания (силы Кулона) между одноименно заряженными шариками.

б) На одинаковый ли угол отклонились обе нити от вертикали?

Да, на одинаковый. Согласно третьему закону Ньютона, сила, с которой первый шарик действует на второй, равна по модулю и противоположна по направлению силе, с которой второй шарик действует на первый ($F_{12} = F_{21}$). Поскольку массы шариков ($\text{m}$) и длины нитей ($\text{l}$) одинаковы, вся система является симметричной. В условиях равновесия это приводит к тому, что углы отклонения обеих нитей от вертикали будут равны.

Ответ: Да, обе нити отклонились на одинаковый угол, так как система симметрична (массы шариков и длины нитей равны).

в) Сделайте чертёж и изобразите на нём все силы, действующие на каждый шарик.

На каждый шарик (рассмотрим левый) действуют три силы:

1. Сила тяжести ($\vec{F_g} = m\vec{g}$), направленная вертикально вниз.

2. Сила натяжения нити ($\vec{T}$), направленная вдоль нити к точке подвеса.

3. Сила кулоновского отталкивания ($\vec{F_c}$), направленная горизонтально в сторону от другого шарика.

Так как шарик находится в равновесии, векторная сумма этих трех сил равна нулю: $\vec{T} + m\vec{g} + \vec{F_c} = 0$.

Ответ: На чертеже изображены силы: натяжения нити $\vec{T}$, тяжести $m\vec{g}$ и кулоновского отталкивания $\vec{F_c}$.

г) Запишите соотношение между действующими на один шарик силой тяжести, силой отталкивания со стороны другого шарика и углом α между нитью и вертикалью.

Рассмотрим условие равновесия для одного шарика. Введём систему координат: ось OY направим вертикально вверх, ось OX — горизонтально. Спроецируем силы на эти оси.
Условие равновесия в проекциях:

на ось OY: $T_y - F_g = 0 \Rightarrow T \cos \alpha - mg = 0 \Rightarrow T \cos \alpha = mg$

на ось OX: $T_x - F_c = 0 \Rightarrow T \sin \alpha - F_c = 0 \Rightarrow T \sin \alpha = F_c$

Получили систему из двух уравнений. Разделим второе уравнение на первое:

$\frac{T \sin \alpha}{T \cos \alpha} = \frac{F_c}{mg}$

$\tan \alpha = \frac{F_c}{mg}$

Отсюда искомое соотношение: $F_c = mg \tan \alpha$.

Ответ: $F_c = mg \tan \alpha$.

д) Выразите расстояние r между шариками через l и α.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный нитью (гипотенуза $\text{l}$), вертикалью и горизонтальной линией, проведенной из центра шарика к вертикали. Длина этого горизонтального отрезка равна половине расстояния между шариками, то есть $r/2$. Угол между нитью и вертикалью равен $\alpha$.

Из определения синуса в этом прямоугольном треугольнике:

$\sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{r/2}{l}$

Выразим отсюда расстояние $\text{r}$:

$r = 2l \sin \alpha$

Ответ: $r = 2l \sin \alpha$.

е) Запишите соотношение, которое связывает m, l, α, q₁ и q₂.

Для этого воспользуемся результатами пунктов (г) и (д) и формулой закона Кулона.
Сила кулоновского отталкивания: $F_c = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$, где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ — коэффициент пропорциональности.
Из пункта (г) имеем: $F_c = mg \tan \alpha$.
Из пункта (д) имеем: $r = 2l \sin \alpha$.

Приравняем выражения для $F_c$ и подставим выражение для $\text{r}$:

$k \frac{q_1 q_2}{(2l \sin \alpha)^2} = mg \tan \alpha$

$k \frac{q_1 q_2}{4l^2 \sin^2 \alpha} = mg \tan \alpha$

Это и есть искомое соотношение.

Ответ: $k \frac{q_1 q_2}{4l^2 \sin^2 \alpha} = mg \tan \alpha$.

ж) Какие задачи можно поставить, используя это соотношение?

Полученное соотношение связывает пять физических величин ($m, l, \alpha, q_1, q_2$) и физические константы ($k, g$). Это позволяет, зная все величины кроме одной, найти эту неизвестную величину. Можно поставить следующие типы задач:

1. Прямая задача: зная массы, заряды шариков и длину нитей, найти угол равновесия $\alpha$.

2. Обратные задачи:

а) Измерив угол $\alpha$ и зная $m, l$ и один из зарядов, определить величину другого заряда (часто используется в лабораторных работах).

б) Определить массу шариков $\text{m}$, если известны все остальные параметры.

в) Определить длину нити $\text{l}$.

3. Задачи на изменение условий:

а) Найти, как изменится угол $\alpha$, если систему поместить в жидкий диэлектрик с известной диэлектрической проницаемостью $\epsilon$ (сила Кулона уменьшится в $\epsilon$ раз).

б) Определить ускорение свободного падения $\text{g}$ на другой планете, измерив там угол отклонения $\alpha$ для известной системы.

Ответ: Используя это соотношение, можно решать задачи на нахождение любой из входящих в него величин ($m, l, \alpha, q_1, q_2$), если остальные известны, а также анализировать поведение системы при изменении внешних условий (например, при погружении в диэлектрик или изменении гравитационного поля).