Номер 7, страница 113, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Электростатика и постоянный электрический ток. Глава VII. Электростатика. Параграф 37. Проводники и диэлектрики в электрическом поле - номер 7, страница 113.

Условие.

7. Когда шарики (см. предыдущую задачу) погрузили в жидкий диэлектрик плотностью $\rho_\text{ж}$ с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$, угол между нитями не изменился. Плотность вещества, из которого изготовлены шарики, равна $\rho_\text{ш}$.

a) Какие ещё физические явления надо учитывать в этой ситуации по сравнению с прежней ситуацией?

б) Выразите $\varepsilon$ через $\rho_\text{ш}$ и $\rho_\text{ж}$.

Решение 2.

а) Какие ещё физические явления надо учитывать в этой ситуации по сравнению с прежней ситуацией?

При погружении шариков в жидкий диэлектрик, в дополнение к силам, действовавшим в воздухе (сила тяжести, сила натяжения нити и сила кулоновского отталкивания), необходимо учитывать два новых физических явления:

1. Действие выталкивающей силы (силы Архимеда). Жидкость действует на погруженные в нее шарики с силой, направленной вертикально вверх и равной весу вытесненной жидкости.

2. Ослабление электростатического взаимодействия. Диэлектрическая среда ослабляет силу взаимодействия между зарядами. Сила Кулона в диэлектрике с диэлектрической проницаемостью $ \varepsilon $ в $ \varepsilon $ раз меньше, чем в вакууме.

Ответ: Необходимо учитывать действие силы Архимеда и ослабление силы кулоновского взаимодействия в диэлектрической среде.

б) Выразите ε через ρш и ρж.

Дано:

Плотность жидкости: $ \rho_ж $

Диэлектрическая проницаемость жидкости: $ \varepsilon $

Плотность вещества шариков: $ \rho_ш $

Угол между нитями в воздухе и в жидкости одинаков.

Найти:

$ \varepsilon $

Решение:

Рассмотрим равновесие одного из шариков. Пусть $ 2\alpha $ — угол между нитями, тогда угол отклонения каждой нити от вертикали равен $ \alpha $.

1. Равновесие шариков в воздухе (предыдущая задача).

На шарик действуют три силы: сила тяжести $ \vec{F}_g $, сила натяжения нити $ \vec{T} $ и сила кулоновского отталкивания $ \vec{F}_э $. В проекциях на оси координат (ось Y — вертикально вверх, ось X — горизонтально) условие равновесия выглядит так:

На ось X: $ T \sin\alpha = F_э $

На ось Y: $ T \cos\alpha = F_g $

Разделив первое уравнение на второе, получим:

$ \tan\alpha = \frac{F_э}{F_g} $ (1)

Масса шарика $ m $ через его плотность $ \rho_ш $ и объем $ V $ выражается как $ m = \rho_ш V $, поэтому сила тяжести $ F_g = mg = \rho_ш V g $.

$ \tan\alpha = \frac{F_э}{\rho_ш V g} $ (2)

2. Равновесие шариков в жидком диэлектрике.

Теперь на шарик действуют четыре силы: сила тяжести $ \vec{F}_g $, сила натяжения нити $ \vec{T}' $, ослабленная сила кулоновского отталкивания $ \vec{F}'_э $ и выталкивающая сила Архимеда $ \vec{F}_A $.

Сила Кулона в диэлектрике ослабляется в $ \varepsilon $ раз: $ F'_э = \frac{F_э}{\varepsilon} $.

Сила Архимеда равна весу вытесненной жидкости: $ F_A = \rho_ж g V $.

Условие равновесия в проекциях:

На ось X: $ T' \sin\alpha = F'_э = \frac{F_э}{\varepsilon} $

На ось Y: $ T' \cos\alpha + F_A = F_g \Rightarrow T' \cos\alpha = F_g - F_A $

Разделив первое уравнение на второе, получим:

$ \tan\alpha = \frac{F'_э}{F_g - F_A} = \frac{F_э / \varepsilon}{\rho_ш V g - \rho_ж V g} $ (3)

3. Нахождение $ \varepsilon $.

По условию задачи, угол $ \alpha $ не изменился. Следовательно, мы можем приравнять правые части уравнений (2) и (3):

$ \frac{F_э}{\rho_ш V g} = \frac{F_э / \varepsilon}{\rho_ш V g - \rho_ж V g} $

Сократим одинаковые множители $ F_э $ и $ Vg $ в обеих частях уравнения:

$ \frac{1}{\rho_ш} = \frac{1 / \varepsilon}{\rho_ш - \rho_ж} $

$ \frac{1}{\rho_ш} = \frac{1}{\varepsilon(\rho_ш - \rho_ж)} $

Отсюда выражаем $ \varepsilon $:

$ \varepsilon(\rho_ш - \rho_ж) = \rho_ш $

$ \varepsilon = \frac{\rho_ш}{\rho_ш - \rho_ж} $

Ответ: $ \varepsilon = \frac{\rho_ш}{\rho_ш - \rho_ж} $