Номер 36, страница 108, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Электростатика и постоянный электрический ток. Глава VII. Электростатика. Параграф 36. Напряжённость электрического поля. Линии напряжённости - номер 36, страница 108.

Условие.

36. На двух нитях равной длины, верхние концы которых закреплены в одной точке, подвешены два положительно заряженных шарика массой $\text{m}$ каждый. Заряды шариков равны $q_1$ и $q_2$. Шарики находятся в равновесии, когда одна из нитей отклонена от вертикали на угол $\alpha$.

Рис. 36.13

а) На одинаковые ли углы отклонены нити от вертикали?

б) Чему равен модуль напряжённости электрического поля в точке, находящейся в середине отрезка, соединяющего шарики?

Решение 2.

а) На одинаковые ли углы отклонены нити от вертикали?

Рассмотрим силы, действующие на каждый из шариков. Пусть шарик с зарядом $q_1$ отклоняется на угол $\alpha_1$, а шарик с зарядом $q_2$ — на угол $\alpha_2$. На каждый шарик действуют три силы: сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити, и сила электростатического отталкивания (сила Кулона) $\vec{F_e}$, направленная горизонтально.

Согласно третьему закону Ньютона, силы электростатического взаимодействия, с которыми шарики действуют друг на друга, равны по модулю и противоположны по направлению. То есть, модуль силы Кулона, действующей на первый шарик, равен модулю силы Кулона, действующей на второй шарик: $F_{e1} = F_{e2} = F_e$.

Поскольку шарики находятся в равновесии, векторная сумма сил, действующих на каждый из них, равна нулю. Рассмотрим условия равновесия для каждого шарика в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси.

Для первого шарика (с зарядом $q_1$):
По горизонтали: $T_1 \sin\alpha_1 = F_e$
По вертикали: $T_1 \cos\alpha_1 = mg$

Для второго шарика (с зарядом $q_2$):
По горизонтали: $T_2 \sin\alpha_2 = F_e$
По вертикали: $T_2 \cos\alpha_2 = mg$

Разделив первое уравнение на второе для каждого шарика, получим:

Для первого шарика: $\frac{T_1 \sin\alpha_1}{T_1 \cos\alpha_1} = \frac{F_e}{mg} \implies \tan\alpha_1 = \frac{F_e}{mg}$

Для второго шарика: $\frac{T_2 \sin\alpha_2}{T_2 \cos\alpha_2} = \frac{F_e}{mg} \implies \tan\alpha_2 = \frac{F_e}{mg}$

Так как правые части уравнений одинаковы (массы шариков равны, и силы Кулона равны по модулю), то и левые части должны быть равны: $\tan\alpha_1 = \tan\alpha_2$. Отсюда следует, что углы отклонения также равны: $\alpha_1 = \alpha_2$.

Ответ: Да, углы отклонения нитей от вертикали одинаковы, так как на шарики равной массы действуют равные по модулю горизонтальные силы отталкивания.

б) Чему равен модуль напряжённости электрического поля в точке, находящейся в середине отрезка, соединяющего шарики?

Дано:
Масса каждого шарика: $\text{m}$
Заряды шариков: $q_1, q_2$ (положительные)
Угол отклонения нитей от вертикали: $\alpha$

Найти:
$\text{E}$ - модуль напряжённости электрического поля в середине отрезка, соединяющего шарики.

Решение:
1. Запишем условие равновесия для одного из шариков (например, левого, с зарядом $q_1$). Как мы выяснили в пункте а), в проекциях на оси условие равновесия имеет вид:
$T \sin\alpha = F_e$
$T \cos\alpha = mg$
Разделив первое уравнение на второе, получим: $\tan\alpha = \frac{F_e}{mg}$.

2. Сила Кулона $F_e$ равна $F_e = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$, где $\text{r}$ — расстояние между шариками, а $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ — коэффициент в законе Кулона.
Подставим это выражение в условие равновесия: $mg \tan\alpha = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$.

3. Найдём напряжённость электрического поля в точке M, находящейся посередине отрезка, соединяющего шарики. Согласно принципу суперпозиции, напряжённость в этой точке равна векторной сумме напряжённостей полей, создаваемых каждым зарядом: $\vec{E} = \vec{E_1} + \vec{E_2}$.

4. Расстояние от каждого шарика до точки M равно $r/2$. Так как заряды $q_1$ и $q_2$ положительные, вектор $\vec{E_1}$ направлен от заряда $q_1$, а вектор $\vec{E_2}$ — от заряда $q_2$. Векторы направлены вдоль прямой, соединяющей заряды, в противоположные стороны. Модуль результирующей напряжённости будет равен разности модулей:
$E = |E_1 - E_2|$

5. Модули напряжённостей полей, создаваемых каждым зарядом в точке M, равны:
$E_1 = k \frac{q_1}{(r/2)^2} = \frac{4kq_1}{r^2}$
$E_2 = k \frac{q_2}{(r/2)^2} = \frac{4kq_2}{r^2}$

6. Тогда модуль результирующей напряжённости:
$E = |\frac{4kq_1}{r^2} - \frac{4kq_2}{r^2}| = \frac{4k|q_1 - q_2|}{r^2} = 4|q_1 - q_2| \frac{k}{r^2}$.

7. Из условия равновесия (пункт 2) выразим отношение $\frac{k}{r^2}$:
$mg \tan\alpha = k \frac{q_1 q_2}{r^2} \implies \frac{k}{r^2} = \frac{mg \tan\alpha}{q_1 q_2}$.

8. Подставим это выражение в формулу для напряжённости $\text{E}$ (пункт 6):
$E = 4|q_1 - q_2| \cdot \left(\frac{mg \tan\alpha}{q_1 q_2}\right) = \frac{4mg \tan\alpha |q_1 - q_2|}{q_1 q_2}$.

Ответ: Модуль напряжённости электрического поля в середине отрезка, соединяющего шарики, равен $E = \frac{4mg \tan\alpha |q_1 - q_2|}{q_1 q_2}$.