Номер 35, страница 108, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Электростатика и постоянный электрический ток. Глава VII. Электростатика. Параграф 36. Напряжённость электрического поля. Линии напряжённости - номер 35, страница 108.

Условие.

35. Точечные заряды $q_A$ и $q_B$ создают в точке C электрическое поле, вектор напряжённости которого изображён на рисунке 36.13. Каков знак каждого заряда? Модуль какого заряда больше и во сколько раз?

Рис. 36.13

Решение 2.

Решение

Результирующий вектор напряженности электрического поля $\vec{E}$ в точке C создается двумя точечными зарядами $q_A$ и $q_B$. Согласно принципу суперпозиции полей, он равен векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: $\vec{E} = \vec{E_A} + \vec{E_B}$.

Вектор $\vec{E_A}$ направлен вдоль прямой, соединяющей точку C и заряд $q_A$. Аналогично, вектор $\vec{E_B}$ направлен вдоль прямой, соединяющей точку C и заряд $q_B$.

Для решения задачи разложим вектор $\vec{E}$ на составляющие $\vec{E_A}$ и $\vec{E_B}$ по указанным направлениям. Введем систему координат, где сторона одной клетки сетки равна единице длины. Пусть заряд $q_A$ находится в точке A(0, 0), тогда заряд $q_B$ находится в точке B(3, 0), а точка C имеет координаты (1, 2). Из рисунка видно, что вектор $\vec{E}$ соответствует смещению на 3 клетки вправо и 1 клетку вверх, то есть его можно представить в виде компонент $\vec{E} = (3, 1)$.

Каков знак каждого заряда?

Вектор поля $\vec{E_A}$ должен быть коллинеарен вектору, соединяющему заряд A и точку C, то есть вектору $\vec{AC} = (1-0, 2-0) = (1, 2)$. Таким образом, $\vec{E_A} = k_A(1, 2)$.

Вектор поля $\vec{E_B}$ должен быть коллинеарен вектору, соединяющему заряд B и точку C, то есть вектору $\vec{BC} = (1-3, 2-0) = (-2, 2)$, или, для удобства, его направляющему вектору $(-1, 1)$. Таким образом, $\vec{E_B} = k_B(-1, 1)$.

Из векторного уравнения $\vec{E_A} + \vec{E_B} = \vec{E}$ получим систему уравнений для компонент:

$\begin{cases} k_A - k_B = 3 \\ 2k_A + k_B = 1 \end{cases}$

Складывая эти два уравнения, получаем $3k_A = 4$, откуда $k_A = 4/3$. Подставляя это значение в первое уравнение, находим $k_B = k_A - 3 = 4/3 - 3 = -5/3$.

Теперь мы можем найти векторы полей: $\vec{E_A} = \frac{4}{3}(1, 2)$ и $\vec{E_B} = -\frac{5}{3}(-1, 1) = (\frac{5}{3}, -\frac{5}{3})$.

Поскольку коэффициент $k_A = 4/3 > 0$, вектор $\vec{E_A}$ сонаправлен с вектором $\vec{AC}$, то есть направлен от заряда $q_A$. Это означает, что заряд $q_A$ является положительным.

Вектор $\vec{E_B}$ имеет направление $(\frac{5}{3}, -\frac{5}{3})$, которое совпадает с направлением вектора от точки C к точке B: $\vec{CB} = (3-1, 0-2) = (2, -2)$. Так как вектор поля $\vec{E_B}$ направлен к заряду $q_B$, этот заряд является отрицательным.

Ответ: Заряд $q_A$ положительный ($q_A > 0$), а заряд $q_B$ отрицательный ($q_B < 0$).

Модуль какого заряда больше и во сколько раз?

Модуль напряженности электрического поля, создаваемого точечным зарядом $\text{q}$ на расстоянии $\text{r}$, равен $E = k \frac{|q|}{r^2}$, где $\text{k}$ — постоянная. Отсюда модуль заряда пропорционален произведению модуля напряженности на квадрат расстояния: $|q| \propto E \cdot r^2$.

Найдем квадраты расстояний от зарядов до точки C:

$r_A^2 = |\vec{AC}|^2 = 1^2 + 2^2 = 5$ (в единицах квадрата стороны клетки).

$r_B^2 = |\vec{BC}|^2 = (-2)^2 + 2^2 = 8$ (в единицах квадрата стороны клетки).

Теперь найдем модули напряженностей полей $\vec{E_A}$ и $\vec{E_B}$:

$E_A = |\vec{E_A}| = \sqrt{(\frac{4}{3})^2 + (\frac{8}{3})^2} = \sqrt{\frac{16+64}{9}} = \sqrt{\frac{80}{9}} = \frac{4\sqrt{5}}{3}$ (в условных единицах).

$E_B = |\vec{E_B}| = \sqrt{(\frac{5}{3})^2 + (-\frac{5}{3})^2} = \sqrt{\frac{25+25}{9}} = \sqrt{\frac{50}{9}} = \frac{5\sqrt{2}}{3}$ (в условных единицах).

Найдем отношение модулей зарядов:

$\frac{|q_B|}{|q_A|} = \frac{E_B \cdot r_B^2}{E_A \cdot r_A^2} = \frac{\frac{5\sqrt{2}}{3} \cdot 8}{\frac{4\sqrt{5}}{3} \cdot 5} = \frac{40\sqrt{2}}{20\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

$\frac{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{10}}{5}$

Чтобы сравнить модули, оценим полученное значение: $\frac{2\sqrt{10}}{5} \approx \frac{2 \cdot 3.16}{5} \approx 1.26 > 1$. Следовательно, $|q_B| > |q_A|$.

Ответ: Модуль заряда $q_B$ больше модуля заряда $q_A$ в $\frac{2\sqrt{10}}{5}$ раз (примерно в 1,26 раза).