Номер 24, страница 172, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Электростатика и постоянный электрический ток. Глава VIII. Постоянный электрический ток. Параграф 43. Расчёт более сложных электрических цепей - номер 24, страница 172.

Условие.

24. На рисунке 43.17 изображена схема электрической цепи. Какой заряд пройдет через ключ после его замыкания? Электроёмкости конденсаторов $C_1 = 4 мкФ,$ $C_2 = 2 мкФ,$ сопротивления резисторов $R_1 = 0,5$ Ом, $R_2 = 2$ Ом, напряжение на полюсах источника тока $U = 10$ В. Внутренним сопротивлением источника можно пренебречь.

Рис. 43.17

Решение 2.

Дано:

$C_1 = 4 \text{ мкФ} = 4 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

$C_2 = 2 \text{ мкФ} = 2 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

$R_1 = 0,5 \text{ Ом}$

$R_2 = 2 \text{ Ом}$

$U = 10 \text{ В}$

Найти:

$\Delta q$ - заряд, который пройдёт через ключ.

Решение:

Заряд, прошедший через ключ, можно найти как разность зарядов на узле А до и после замыкания ключа. Узел А - это гальванически изолированная до замыкания ключа часть цепи, состоящая из правой обкладки конденсатора $C_1$ и левой обкладки конденсатора $C_2$.

1. Состояние цепи до замыкания ключа.

В установившемся режиме постоянный ток через конденсаторы не течет. Таким образом, цепь состоит из двух параллельных ветвей: верхней с последовательно соединенными конденсаторами $C_1$ и $C_2$, и нижней с последовательно соединенными резисторами $R_1$ и $R_2$.

Примем потенциал отрицательного полюса источника (справа) равным нулю, тогда потенциал положительного полюса (слева) будет равен $\text{U}$.

Найдем потенциал точки B между резисторами. Ток через резисторы равен $I = \frac{U}{R_1 + R_2}$. Потенциал точки B равен напряжению на резисторе $R_2$:

$V_B = I \cdot R_2 = \frac{U R_2}{R_1 + R_2}$

Найдем потенциал точки А между конденсаторами. При последовательном соединении конденсаторов заряд на них одинаков ($q_1=q_2=q$), а напряжение распределяется обратно пропорционально емкостям. Потенциал точки А равен напряжению на конденсаторе $C_2$:

$V_A = U \frac{C_1}{C_1 + C_2}$

Начальный заряд узла А ($q_{A, \text{нач}}$) равен сумме зарядов на правой обкладке $C_1$ и левой обкладке $C_2$. Заряд на правой обкладке $C_1$ равен $C_1(V_A - U)$, а на левой $C_2$ равен $C_2(V_A - 0)$.

$q_{A, \text{нач}} = C_1(V_A - U) + C_2 V_A = C_1(U \frac{C_1}{C_1+C_2} - U) + C_2 U \frac{C_1}{C_1+C_2}$

$q_{A, \text{нач}} = U \frac{C_1^2 - C_1(C_1+C_2) + C_1 C_2}{C_1+C_2} = U \frac{C_1^2 - C_1^2 - C_1 C_2 + C_1 C_2}{C_1+C_2} = 0$

Это ожидаемый результат, так как узел А изначально был изолирован и электронейтрален.

2. Состояние цепи после замыкания ключа.

После замыкания ключа точки А и В соединяются, и в установившемся режиме их потенциалы становятся равными: $V'_A = V'_B$. Так как ток по-прежнему течет только через резисторы, потенциал точки В не изменится.

$V'_A = V_B = \frac{U R_2}{R_1 + R_2}$

Теперь конденсатор $C_1$ подключен к разности потенциалов $U - V'_A$, а конденсатор $C_2$ — к разности потенциалов $V'_A - 0$.

Конечный заряд узла А ($q_{A, \text{кон}}$) равен сумме зарядов на правой обкладке $C_1$ и левой обкладке $C_2$:

$q_{A, \text{кон}} = C_1(V'_A - U) + C_2(V'_A - 0) = C_1(\frac{U R_2}{R_1 + R_2} - U) + C_2(\frac{U R_2}{R_1 + R_2})$

$q_{A, \text{кон}} = C_1 \frac{U R_2 - U(R_1+R_2)}{R_1 + R_2} + \frac{U C_2 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{-U C_1 R_1 + U C_2 R_2}{R_1 + R_2}$

$q_{A, \text{кон}} = U \frac{C_2 R_2 - C_1 R_1}{R_1 + R_2}$

3. Нахождение заряда.

Заряд $\Delta q$, прошедший через ключ, равен изменению заряда узла А:

$\Delta q = q_{A, \text{кон}} - q_{A, \text{нач}} = U \frac{C_2 R_2 - C_1 R_1}{R_1 + R_2} - 0 = U \frac{C_2 R_2 - C_1 R_1}{R_1 + R_2}$

Подставим числовые значения:

$\Delta q = 10 \text{ В} \cdot \frac{2 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} \cdot 2 \text{ Ом} - 4 \cdot 10^{-6} \text{ Ф} \cdot 0,5 \text{ Ом}}{0,5 \text{ Ом} + 2 \text{ Ом}}$

$\Delta q = 10 \cdot \frac{4 \cdot 10^{-6} - 2 \cdot 10^{-6}}{2,5} = 10 \cdot \frac{2 \cdot 10^{-6}}{2,5} = \frac{20 \cdot 10^{-6}}{2,5} = 8 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

Положительный знак означает, что заряд перетекал от точки B к точке A.

Ответ: Заряд, который пройдёт через ключ, равен $8 \text{ мкКл}$.