Номер 22, страница 172, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Электростатика и постоянный электрический ток. Глава VIII. Постоянный электрический ток. Параграф 43. Расчёт более сложных электрических цепей - номер 22, страница 172.

Условие.

22. Сопротивление каждого резистора в единицах СИ в цепи, схема которой изображена на рисунке 43.15, равно номеру этого резистора. ЭДС источника тока равна $7.5 \, \text{В}$, мощность тока в резисторе 2 равна $0.5 \, \text{Вт}$. Чему равно внутреннее сопротивление источника?

Рис. 43.15

Решение 2.

Дано:

$R_1 = 1 \, Ом$
$R_2 = 2 \, Ом$
$R_3 = 3 \, Ом$
$R_4 = 4 \, Ом$
$R_5 = 5 \, Ом$
$\mathcal{E} = 7.5 \, В$
$P_2 = 0.5 \, Вт$

Найти:

$\text{r}$ - ?

Решение:

Внешняя цепь состоит из двух групп резисторов, соединенных последовательно. Первая группа - это резисторы 1, 2, 3, соединенные параллельно. Вторая группа - это резисторы 4, 5, также соединенные параллельно.

Найдем эквивалентное сопротивление первой группы резисторов ($R_{123}$):
$\frac{1}{R_{123}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{6+3+2}{6} = \frac{11}{6} \, Ом^{-1}$
$R_{123} = \frac{6}{11} \, Ом$

Найдем эквивалентное сопротивление второй группы резисторов ($R_{45}$):
$\frac{1}{R_{45}} = \frac{1}{R_4} + \frac{1}{R_5} = \frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{5+4}{20} = \frac{9}{20} \, Ом^{-1}$
$R_{45} = \frac{20}{9} \, Ом$

Полное сопротивление внешней цепи $R_{ext}$ равно сумме сопротивлений последовательно соединенных групп:
$R_{ext} = R_{123} + R_{45} = \frac{6}{11} + \frac{20}{9} = \frac{54 + 220}{99} = \frac{274}{99} \, Ом$

Теперь найдем силу тока в цепи. Для этого воспользуемся данными о мощности на втором резисторе. Мощность связана с напряжением и сопротивлением формулой $P_2 = \frac{U_2^2}{R_2}$. Выразим напряжение на втором резисторе:
$U_2 = \sqrt{P_2 \cdot R_2} = \sqrt{0.5 \, Вт \cdot 2 \, Ом} = \sqrt{1 \, В^2} = 1 \, В$

Так как резисторы 1, 2 и 3 соединены параллельно, напряжение на них одинаково и равно напряжению на всей первой группе резисторов:
$U_{123} = U_1 = U_2 = U_3 = 1 \, В$

Общий ток $\text{I}$, протекающий через источник и всю внешнюю цепь, равен току, протекающему через первую группу резисторов. Этот ток можно найти по закону Ома для участка цепи:
$I = \frac{U_{123}}{R_{123}} = \frac{1 \, В}{6/11 \, Ом} = \frac{11}{6} \, А$

Теперь воспользуемся законом Ома для полной цепи:
$I = \frac{\mathcal{E}}{R_{ext} + r}$

Выразим из этой формулы внутреннее сопротивление $\text{r}$:
$R_{ext} + r = \frac{\mathcal{E}}{I}$
$r = \frac{\mathcal{E}}{I} - R_{ext}$

Подставим числовые значения и вычислим $\text{r}$:
$r = \frac{7.5 \, В}{11/6 \, А} - \frac{274}{99} \, Ом = \frac{7.5 \cdot 6}{11} - \frac{274}{99} = \frac{45}{11} - \frac{274}{99}$
Приведем к общему знаменателю 99:
$r = \frac{45 \cdot 9}{99} - \frac{274}{99} = \frac{405 - 274}{99} = \frac{131}{99} \, Ом \approx 1.32 \, Ом$

Ответ: внутреннее сопротивление источника равно $\frac{131}{99} \, Ом$ или приблизительно $1.32 \, Ом$.