Номер 20, страница 171, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Электростатика и постоянный электрический ток. Глава VIII. Постоянный электрический ток. Параграф 43. Расчёт более сложных электрических цепей - номер 20, страница 171.

Условие.

20. К источнику тока с ЭДС, равной $6 \, \text{В}$, и внутренним сопротивлением $2 \, \text{Ом}$ подключают поочерёдно три реостата. Сопротивление первого реостата можно изменять в пределах от $0,2 \, \text{Ом}$ до $1 \, \text{Ом}$, сопротивление второго — от $1 \, \text{Ом}$ до $4 \, \text{Ом}$, а сопротивление третьего — от $4 \, \text{Ом}$ до $10 \, \text{Ом}$. Какова максимально возможная мощность тока в каждом реостате?

Решение 2.

Дано:

ЭДС источника тока: $\mathcal{E} = 6$ В

Внутреннее сопротивление источника: $r = 2$ Ом

Диапазон сопротивления первого реостата: $R_1 \in [0.2 \, \text{Ом}; 1 \, \text{Ом}]$

Диапазон сопротивления второго реостата: $R_2 \in [1 \, \text{Ом}; 4 \, \text{Ом}]$

Диапазон сопротивления третьего реостата: $R_3 \in [4 \, \text{Ом}; 10 \, \text{Ом}]$

Все данные приведены в системе СИ.

Найти:

Максимально возможную мощность тока в каждом реостате: $P_{1,max}, P_{2,max}, P_{3,max}$.

Решение:

Мощность $\text{P}$, выделяемая на внешнем сопротивлении $\text{R}$ (реостате), вычисляется по формуле $P = I^2 R$, где $\text{I}$ – сила тока в цепи. По закону Ома для полной цепи сила тока определяется как:

$I = \frac{\mathcal{E}}{R+r}$

где $\mathcal{E}$ – ЭДС источника, а $\text{r}$ – его внутреннее сопротивление.

Подставим выражение для силы тока в формулу мощности, чтобы получить зависимость мощности от внешнего сопротивления:

$P(R) = \left(\frac{\mathcal{E}}{R+r}\right)^2 R = \frac{\mathcal{E}^2 R}{(R+r)^2}$

Чтобы найти значение $\text{R}$, при котором мощность максимальна, исследуем эту функцию на экстремум. Для этого найдем ее производную по $\text{R}$ и приравняем к нулю:

$P'(R) = \frac{d}{dR} \left( \frac{\mathcal{E}^2 R}{(R+r)^2} \right) = \mathcal{E}^2 \frac{1 \cdot (R+r)^2 - R \cdot 2(R+r)}{(R+r)^4} = \mathcal{E}^2 \frac{R+r - 2R}{(R+r)^3} = \mathcal{E}^2 \frac{r-R}{(R+r)^3}$

При $P'(R) = 0$, получаем условие $r-R=0$, то есть $R=r$.

Это означает, что мощность, выделяемая на внешней нагрузке, максимальна, когда ее сопротивление равно внутреннему сопротивлению источника. В данном случае, максимальная мощность достигается при $R = r = 2$ Ом.

Проанализируем поведение функции $P(R)$:

• При $R < r$ (т.е. $R < 2$ Ом), производная $P'(R) > 0$, следовательно, функция $P(R)$ возрастает.
• При $R > r$ (т.е. $R > 2$ Ом), производная $P'(R) < 0$, следовательно, функция $P(R)$ убывает.

Теперь определим максимальную мощность для каждого реостата в его диапазоне сопротивлений.

Максимальная мощность в первом реостате

Диапазон сопротивления первого реостата – от 0,2 Ом до 1 Ом. Весь этот диапазон $R_1 \in [0.2, 1]$ находится в области, где $R < r$. На этом интервале функция мощности $P(R)$ монотонно возрастает. Следовательно, максимальное значение мощности будет достигнуто при максимальном значении сопротивления, то есть при $R_1 = 1$ Ом.

$P_{1,max} = \frac{\mathcal{E}^2 R_1}{(R_1+r)^2} = \frac{6^2 \cdot 1}{(1+2)^2} = \frac{36}{3^2} = \frac{36}{9} = 4$ Вт.

Ответ: Максимальная мощность в первом реостате составляет 4 Вт.

Максимальная мощность во втором реостате

Диапазон сопротивления второго реостата – от 1 Ом до 4 Ом. Этот диапазон $R_2 \in [1, 4]$ включает в себя значение $R=r=2$ Ом, при котором мощность достигает своего глобального максимума. Таким образом, максимальная мощность для второго реостата будет достигнута при $R_2 = 2$ Ом.

$P_{2,max} = \frac{\mathcal{E}^2 R_2}{(R_2+r)^2} = \frac{6^2 \cdot 2}{(2+2)^2} = \frac{36 \cdot 2}{4^2} = \frac{72}{16} = 4.5$ Вт.

Ответ: Максимальная мощность во втором реостате составляет 4,5 Вт.

Максимальная мощность в третьем реостате

Диапазон сопротивления третьего реостата – от 4 Ом до 10 Ом. Весь этот диапазон $R_3 \in [4, 10]$ находится в области, где $R > r$. На этом интервале функция мощности $P(R)$ монотонно убывает. Следовательно, максимальное значение мощности будет достигнуто при минимальном значении сопротивления, то есть при $R_3 = 4$ Ом.

$P_{3,max} = \frac{\mathcal{E}^2 R_3}{(R_3+r)^2} = \frac{6^2 \cdot 4}{(4+2)^2} = \frac{36 \cdot 4}{6^2} = \frac{144}{36} = 4$ Вт.

Ответ: Максимальная мощность в третьем реостате составляет 4 Вт.