Номер 1, страница 249, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Задания для проектно-исследовательской деятельности. Глава III. Законы сохранения в механике - номер 1, страница 249.

Условие.

Глава III. Законы сохранения в механике

1. Маятник Ньютона

Цель: изготовить установку, демонстрирующую сохранение механической энергии при упругом ударе.

Изготовьте установку, изображённую на рисунке 3. Шарики должны быть упругими и иметь достаточно большую массу. Можно, например, использовать стальные или стеклянные шарики, а также шарики от модели кристаллической решётки.

Рис. 3

Каждый шарик подвешивайте на двух нитях одинаковой длины, прикреплённых к параллельным стержням, расположенным на одной высоте.

Отведите в сторону правый шарик и отпустите.

Отведите в сторону левый шарик и отпустите.

Отведите в сторону два правых шарика и отпустите.

Отведите в сторону два левых шарика и отпустите.

По возможности сделайте видеосъёмку ваших опытов.

Повторите каждый опыт несколько раз.

Опишите ваши наблюдения.

Объясните результаты опытов, используя законы сохранения в механике.

Решение 2.

Опишите ваши наблюдения.

При проведении экспериментов с маятником Ньютона наблюдаются следующие закономерности:

• Когда один крайний шарик отводят в сторону и отпускают, он ударяется о соседний. В результате все промежуточные шарики остаются неподвижными, а крайний шарик с противоположной стороны отскакивает на высоту, примерно равную начальной высоте первого шарика. Затем он возвращается, ударяет по ряду, и первый шарик отскакивает обратно. Процесс циклически повторяется, постепенно затухая.

• Когда в сторону отводят и отпускают два шарика, они вместе ударяются о ряд. В результате с противоположной стороны отскакивают ровно два шарика, также поднимаясь на ту же высоту. Промежуточные шарики остаются на месте.

Общее наблюдение: количество шариков, отлетающих с одного края, всегда равно количеству шариков, запущенных с другого края.

Ответ: При столкновении $\text{N}$ шариков с одной стороны, с другой стороны отскакивает ровно $\text{N}$ шариков на ту же высоту, с которой были запущены исходные шарики.

Объясните результаты опытов, используя законы сохранения в механике.

Наблюдаемые явления в маятнике Ньютона объясняются совместным действием двух фундаментальных законов сохранения: закона сохранения импульса и закона сохранения механической энергии.

Столкновение шариков происходит очень быстро, поэтому систему шаров в момент удара можно считать замкнутой (в горизонтальном направлении), и для нее должен выполняться закон сохранения импульса. Также, поскольку шарики изготовлены из упругого материала (сталь, стекло), их столкновение можно считать практически абсолютно упругим. При абсолютно упругом ударе сохраняется не только импульс, но и механическая (в данном случае кинетическая) энергия системы.

Рассмотрим математически случай, когда один шарик массой $\text{m}$, отпущенный с высоты $\text{h}$, налетает на остальные со скоростью $\text{v}$. Его кинетическая энергия перед ударом равна $E_k = \frac{1}{2}mv^2$, а импульс $p = mv$.

Предположим, что после столкновения с противоположной стороны отлетает $\text{n}$ шариков со скоростью $\text{u}$. Тогда суммарный импульс после столкновения равен $p_{после} = (nm)u$, а их суммарная кинетическая энергия $E_{k, после} = \frac{1}{2}(nm)u^2$.

Согласно законам сохранения:

1. Закон сохранения импульса: $p = p_{после} \implies mv = (nm)u \implies v = nu$

2. Закон сохранения энергии: $E_k = E_{k, после} \implies \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}(nm)u^2 \implies v^2 = nu^2$

Мы получили систему из двух уравнений. Подставим выражение для $\text{v}$ из первого уравнения во второе:

$(nu)^2 = nu^2$

$n^2u^2 = nu^2$

Поскольку шарики отлетают, их скорость $u \neq 0$. Значит, можно сократить на $u^2$:

$n^2 = n$

Это уравнение имеет два корня: $n=0$ (что означает отсутствие движения после удара) и $n=1$. Физический смысл имеет только решение $n=1$. Это означает, что с противоположной стороны может отскочить только один шарик. При этом из уравнения $v = nu$ следует, что $v = 1 \cdot u$, то есть $v=u$. Шарик отлетает с той же скоростью, с которой налетел первый, и, следовательно, поднимется на ту же высоту.

Аналогичные рассуждения для случая, когда налетают два шарика массой $2m$ со скоростью $\text{v}$, приводят к системе:

1. $2mv = nmu \implies 2v = nu$

2. $\frac{1}{2}(2m)v^2 = \frac{1}{2}nmu^2 \implies 2v^2 = nu^2$

Решение этой системы дает $n=2$ и $v=u$. То есть, отскочат ровно два шарика и с той же скоростью.

Таким образом, одновременное выполнение законов сохранения импульса и энергии однозначно определяет исход столкновения: сколько шариков начало движение, столько же должно продолжить его с другой стороны.

Ответ: Наблюдаемое явление является следствием одновременного выполнения закона сохранения импульса и закона сохранения механической энергии при упругом столкновении шариков. Математический анализ показывает, что только при равенстве числа отскочивших и налетающих шариков оба закона выполняются одновременно.