Номер 3, страница 242, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Лабораторные работы - номер 3, страница 242.

Условие.

*3. Измерение коэффициента трения с помощью наклонной плоскости. Конструирование наклонной плоскости с заданным КПД

Цель работы: измерить коэффициент трения с помощью наклонной плоскости, сконструировать наклонную плоскость с заданным КПД.

Оборудование: деревянные доска и брусок¹⁾, динамометр, сантиметровая лента, штатив.

Подготовка к работе

1. Изучите описание работы.

2. Запишите в тетради вывод всех формул, используемых в работе (см. § 10).

Содержание работы

1. Измерение коэффициента трения.

Тело может находиться в покое на наклонной плоскости, если $\tan\alpha < \mu$.

Здесь $\alpha$ – угол наклона плоскости, $\mu$ – коэффициент трения между телом и наклонной плоскостью.

Обозначим $\alpha_0$ угол наклона плоскости, при превышении которого тело начинает скользить по доске. Тогда

$\tan\alpha_0 = \mu.$

Определить из опыта $\alpha_0$ можно, медленно увеличивая угол наклона доски и измерив высоту $h_0$ наклонной плоскости, при превышении которой тело начинает скользить по доске. При этом

$\sin\alpha_0 = \frac{h_0}{l},$

где $\text{l}$ – длина наклонной плоскости.

Из последнего соотношения находим значение $\sin\alpha_0$. Используя его, находим с помощью калькулятора значения $\alpha_0$ и $\tan\alpha_0 = \mu.$

2. Конструирование наклонной плоскости с заданным КПД.

В данной работе удобно использовать КПД, выраженный как отношение полезной работы к совершённой:

$\eta = \frac{A_{\text{пол}}}{A_{\text{сов}}}.$

Полезная работа $A_{\text{пол}} = mgh$, а совершённая работа выражается формулой $A_{\text{сов}} = mgl(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)$. Выражение для $A_{\text{сов}}$ можно получить, рассмотрев силы, действующие на тело, которое равномерно поднимают по наклонной плоскости, прикладывая силу, направленную вдоль этой плоскости. Используя выражения для $A_{\text{пол}}$ и $A_{\text{сов}}$, получаем:

$\eta = \frac{\tan\alpha}{\tan\alpha + \mu}$.

Из этой формулы следует, что заданному значению КПД, равному $\eta_1$, соответствует угол наклона плоскости $\alpha_1$, определяемый соотношением

$\tan\alpha_1 = \frac{\eta_1\mu}{1-\eta_1}$.

Вычислив с помощью последней формулы значение $\tan\alpha_1$, находим угол $\alpha_1$, соответствующий заданному значению КПД.

Чтобы проверить на опыте, что вычисленное значение угла наклона плоскости $\alpha_1$ действительно соответствует заданному КПД, измеряем на опыте $A_{\text{пол}}$ и $A_{\text{сов}}$ при $\alpha = \alpha_1$, вычисляем КПД и сравниваем его с заданным.

Ход работы

Задание 1. Измерение коэффициента трения

• Используя брусок, деревянную доску и линейку, измерьте коэффициент трения (см. описание работы). Записывайте результаты измерений в таблицу. Заголовок таблицы приведён ниже.

$h_0$, м $\text{l}$, м $\sin\alpha_0$ $\alpha_0$ $\mu = \tan\alpha_0$

Задание 2. Конструирование наклонной плоскости с КПД, равным 75 %.

• Используя найденное выше значение коэффициента трения $\mu$ и формулу $\tan\alpha_1 = \frac{\eta_1\mu}{1-\eta_1}$, вычислите значения $\tan\alpha_1$ и $\alpha_1$, соответствующие $\eta_1 = 0,75$. Результаты вычислений и измерений записывайте в таблицу.

• Установите наклонную плоскость под углом $\alpha_1$ (при этом высота наклонной плоскости $h_1 = l\sin\alpha_1$).

• Измерьте на опыте при $\alpha = \alpha_1$ значения $A_{\text{пол}} = mgh$ и $A_{\text{сов}} = Fl$, где $\text{F}$ – модуль направленной вдоль наклонной плоскости силы, которую надо прикладывать к бруску для его равномерного подъёма вдоль плоскости.

• Используя эти значения, вычислите полученное на опыте значение КПД $\eta_{\text{эксп}}$ и запишите в таблицу. Заголовок таблицы приведён ниже.

$\alpha_1$ $\tan\alpha_1$ $\text{m}$, кг $\text{l}$, м $h_1$, м $\text{F}$, Н $A_{\text{пол}}$, Дж $A_{\text{сов}}$, Дж $\eta_{\text{эксп}}$

• Сравните $\eta_{\text{эксп}}$ с заданным значением $\eta_1 = 0,75$ с учётом погрешности. Сделайте вывод и запишите его.

Решение 2.

Задание 1. Измерение коэффициента трения.

Для определения коэффициента трения скольжения $μ$ между бруском и деревянной доской, будем медленно увеличивать угол наклона доски $α$ до тех пор, пока брусок не начнет скользить. Угол $α₀$, при котором начинается движение, называется углом трения. Коэффициент трения покоя равен тангенсу этого угла: $μ = \operatorname{tg}α₀$.

На практике измеряют высоту $h₀$ и длину $\text{l}$ наклонной плоскости в момент начала скольжения. Тогда $\operatorname{sin}α₀ = h₀/l$. Зная синус угла, можно найти сам угол $α₀$, а затем и его тангенс.

Проведем гипотетический эксперимент.

Дано:
Длина наклонной плоскости, $l = 1.0$ м.
Высота, при которой брусок начинает скользить, $h₀ = 0.30$ м.

Найти:
Коэффициент трения $μ$.

Решение:
1. Найдем синус угла наклона $α₀$:
$\operatorname{sin}α₀ = h₀ / l = 0.30 / 1.0 = 0.30$
2. Найдем угол $α₀$:
$α₀ = \operatorname{arcsin}(0.30) \approx 17.46^\circ$
3. Вычислим коэффициент трения $μ$:
$μ = \operatorname{tg}α₀ = \operatorname{tg}(17.46^\circ) \approx 0.315$
Занесем результаты в таблицу:

$h₀$, м	$\text{l}$, м	$\operatorname{sin}α₀$	$α₀, ^\circ$	$μ = \operatorname{tg}α₀$
0.30	1.0	0.300	17.46	0.315

Ответ: Коэффициент трения скольжения бруска по доске равен приблизительно 0.315.

Задание 2. Конструирование наклонной плоскости с КПД, равным 75 %.

Сначала теоретически рассчитаем параметры наклонной плоскости, которая будет иметь КПД $η₁ = 75\%$, используя найденный коэффициент трения $μ$. Затем проверим результат экспериментально.

Часть 1: Расчет угла наклона.

Дано:
Заданный КПД, $η₁ = 75\% = 0.75$.
Коэффициент трения (из Задания 1), $μ \approx 0.315$.

Найти:
Угол наклона $α₁$.

Решение:
КПД наклонной плоскости выражается формулой $η = \frac{\operatorname{tg}α}{\operatorname{tg}α + μ}$. Отсюда можно выразить тангенс угла $α₁$, соответствующего КПД $η₁$:
$\operatorname{tg}α₁ = \frac{η₁μ}{1 - η₁}$
Подставим наши значения:
$\operatorname{tg}α₁ = \frac{0.75 \cdot 0.315}{1 - 0.75} = \frac{0.23625}{0.25} = 0.945$
Теперь найдем сам угол $α₁$:
$α₁ = \operatorname{arctg}(0.945) \approx 43.38^\circ$

Часть 2: Экспериментальная проверка.

Установим наклонную плоскость под углом $α₁ \approx 43.38^\circ$ и измерим КПД на опыте.

Дано:
Расчетный угол наклона, $α₁ \approx 43.38^\circ$.
Коэффициент трения, $μ \approx 0.315$.
Масса бруска, $m = 0.2$ кг.
Длина наклонной плоскости, $l = 1.0$ м.
Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с².
Измеренная сила тяги для равномерного подъема, $F = 1.85$ Н.

Найти:
Экспериментальное значение КПД $η_{эксп}$.

Решение:
1. Вычислим высоту подъема $h₁$, соответствующую углу $α₁$ и длине $\text{l}$:
$h₁ = l \cdot \operatorname{sin}α₁ = 1.0 \cdot \operatorname{sin}(43.38^\circ) \approx 0.687$ м.
2. Вычислим полезную работу $А_{пол}$, затраченную на подъем бруска на высоту $h₁$:
$А_{пол} = mgh₁ = 0.2 \cdot 9.8 \cdot 0.687 \approx 1.347$ Дж.
3. Вычислим совершенную (полную) работу $А_{сов}$ по перемещению бруска вдоль наклонной плоскости с силой $\text{F}$ на расстояние $\text{l}$:
$А_{сов} = F \cdot l = 1.85 \cdot 1.0 = 1.85$ Дж.
4. Рассчитаем экспериментальное значение КПД $η_{эксп}$:
$η_{эксп} = \frac{А_{пол}}{А_{сов}} = \frac{1.347}{1.85} \approx 0.728$ или $72.8\%$.
Занесем все данные в итоговую таблицу:

$α₁, ^\circ$	$\operatorname{tg}α₁$	$\text{m}$, кг	$\text{l}$, м	$h₁$, м	$\text{F}$, Н	$А_{пол}$, Дж	$А_{сов}$, Дж	$η_{эксп}$
43.38	0.945	0.2	1.0	0.687	1.85	1.347	1.85	0.728

Часть 3: Сравнение и вывод.

Сравним полученное экспериментальное значение КПД $η_{эксп} \approx 72.8\%$ с заданным значением $η₁ = 75\%$.
Относительная погрешность эксперимента составляет:
$ε = \frac{|η₁ - η_{эксп}|}{η₁} \cdot 100\% = \frac{|0.75 - 0.728|}{0.75} \cdot 100\% = \frac{0.022}{0.75} \cdot 100\% \approx 2.9\%$
Полученное значение КПД близко к заданному. Расхождение можно объяснить погрешностями измерений: неточностью определения момента начала скольжения, что влияет на $μ$; погрешностями измерения длины $\text{l}$, высоты $h₀$, массы $\text{m}$; неравномерностью движения бруска при измерении силы тяги $\text{F}$; погрешностью динамометра.

Вывод: В ходе работы был измерен коэффициент трения скольжения, который составил $μ \approx 0.315$. На основе этого значения была сконструирована наклонная плоскость с заданным КПД $75\%$. Экспериментальная проверка показала, что КПД созданной установки составляет $72.8\%$, что с учетом погрешностей измерений (относительная погрешность $\approx 2.9\%$) хорошо согласуется с теоретическим значением. Цель работы достигнута.

Ответ: Экспериментально измеренный КПД сконструированной наклонной плоскости составил $η_{эксп} \approx 72.8\%$, что близко к заданному значению $75\%$.