Номер 4, страница 236, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Погрешности измерений - номер 4, страница 236.

Условие.

4. При косвенном измерении плотности вещества $\rho$ были получены следующие результаты прямых измерений: $m = (53 \pm 1)$ г; $V = (20 \pm 2)$ см$^3$.

а) Запишите формулу, выражающую $\rho$ через $\text{m}$ и $\text{V}$.

б) Вычислите $\rho_{min}$, $\rho_{max}$, $\Delta\rho$ и $\rho_{\text{ср}}$.

в) Вычислите относительную погрешность измерения плотности.

г) Запишите результат измерения с указанием абсолютной и относительной погрешностей.

д) Нанесите результат измерения на числовую ось.

е) Сделайте вывод: противоречат ли результаты измерений гипотезе о том, что рассматриваемое тело изготовлено из алюминия?

Решение 2.

Дано:

$m = (53 \pm 1)$ г

$V = (20 \pm 2)$ см³

В системе СИ:

$m_{ср} = 53 \text{ г} = 0.053 \text{ кг}$

$\Delta m = 1 \text{ г} = 0.001 \text{ кг}$

$V_{ср} = 20 \text{ см}^3 = 20 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 20 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 2 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3$

$\Delta V = 2 \text{ см}^3 = 2 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 0.2 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3$

Найти:

а) $\rho(m, V)$

б) $\rho_{min}, \rho_{max}, \Delta\rho, \rho_{ср}$

в) $\varepsilon_{\rho}$

г) $\rho = \rho_{ср} \pm \Delta\rho$

д) Нанести результат на числовую ось

е) Проверить гипотезу об алюминии

Решение:

а) Плотность вещества $\rho$ определяется как отношение массы тела $\text{m}$ к его объему $\text{V}$.

$\rho = \frac{m}{V}$

Ответ: $\rho = \frac{m}{V}$

б) Для вычисления предельных значений плотности найдем предельные значения массы и объема:

$m_{min} = 53 - 1 = 52$ г

$m_{max} = 53 + 1 = 54$ г

$V_{min} = 20 - 2 = 18$ см³

$V_{max} = 20 + 2 = 22$ см³

Минимальное значение плотности $\rho_{min}$ достигается при минимальной массе и максимальном объеме:

$\rho_{min} = \frac{m_{min}}{V_{max}} = \frac{52 \text{ г}}{22 \text{ см}^3} \approx 2.36 \text{ г/см}^3$

Максимальное значение плотности $\rho_{max}$ достигается при максимальной массе и минимальном объеме:

$\rho_{max} = \frac{m_{max}}{V_{min}} = \frac{54 \text{ г}}{18 \text{ см}^3} = 3.00 \text{ г/см}^3$

Среднее (наиболее вероятное) значение плотности $\rho_{ср}$ вычислим по средним значениям массы и объема:

$\rho_{ср} = \frac{m_{ср}}{V_{ср}} = \frac{53 \text{ г}}{20 \text{ см}^3} = 2.65 \text{ г/см}^3$

Абсолютную погрешность измерения плотности $\Delta\rho$ найдем как половину размаха интервала возможных значений:

$\Delta\rho = \frac{\rho_{max} - \rho_{min}}{2} = \frac{3.00 - 2.36}{2} = \frac{0.64}{2} = 0.32 \text{ г/см}^3$

Согласно правилам обработки результатов, абсолютную погрешность следует округлить до одной значащей цифры: $\Delta\rho \approx 0.3 \text{ г/см}^3$.

Среднее значение плотности округляется до того же десятичного разряда, что и погрешность (в данном случае до десятых):

$\rho_{ср} = 2.65 \text{ г/см}^3 \approx 2.7 \text{ г/см}^3$.

Ответ: $\rho_{min} \approx 2.36 \text{ г/см}^3$; $\rho_{max} = 3.00 \text{ г/см}^3$; $\rho_{ср} \approx 2.7 \text{ г/см}^3$; $\Delta\rho \approx 0.3 \text{ г/см}^3$.

в) Относительная погрешность измерения плотности $\varepsilon_{\rho}$ равна сумме относительных погрешностей прямых измерений массы ($\varepsilon_m$) и объема ($\varepsilon_V$):

$\varepsilon_m = \frac{\Delta m}{m_{ср}} = \frac{1}{53} \approx 0.0189$

$\varepsilon_V = \frac{\Delta V}{V_{ср}} = \frac{2}{20} = 0.1$

$\varepsilon_{\rho} = \varepsilon_m + \varepsilon_V \approx 0.0189 + 0.1 = 0.1189$

Выразим относительную погрешность в процентах и округлим до двух значащих цифр:

$\varepsilon_{\rho} \approx 0.12 = 12\%$

Ответ: Относительная погрешность измерения плотности составляет примерно $12\%$.

г) Результат измерения плотности записывается в виде $\rho = \rho_{ср} \pm \Delta\rho$.

С учетом округленных значений из пункта б):

$\rho = (2.7 \pm 0.3) \text{ г/см}^3$

Относительная погрешность $\varepsilon_{\rho} \approx 12\%$.

В системе СИ: $1 \text{ г/см}^3 = 1000 \text{ кг/м}^3$.

$\rho = (2700 \pm 300) \text{ кг/м}^3$ или $\rho = (2.7 \pm 0.3) \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3$.

Ответ: Результат измерения: $\rho = (2.7 \pm 0.3) \text{ г/см}^3$ с относительной погрешностью $\varepsilon_{\rho} \approx 12\%$. В СИ: $\rho = (2700 \pm 300) \text{ кг/м}^3$.

д) Результат измерения на числовой оси представляет собой интервал, в котором с высокой вероятностью находится истинное значение плотности. Центральное значение интервала — $\rho_{ср} = 2.7 \text{ г/см}^3$. Границы интервала: $\rho_{ср} - \Delta\rho = 2.4 \text{ г/см}^3$ и $\rho_{ср} + \Delta\rho = 3.0 \text{ г/см}^3$.

Схематическое изображение на числовой оси (ρ, г/см³):

...---|-----[-----|-----]-----|---...
2.4 2.7 3.0

Ответ: На числовой оси результат измерения представляет собой интервал $[2.4; 3.0]$ г/см³.

е) Табличное значение плотности алюминия составляет $\rho_{Al} = 2.70 \text{ г/см}^3$ (или $2700 \text{ кг/м}^3$).

Сравним это значение с полученным интервалом для плотности: $[2.4; 3.0]$ г/см³.

Так как $2.4 \le 2.70 \le 3.0$, табличное значение плотности алюминия попадает в доверительный интервал, полученный в результате измерений.

Следовательно, результаты измерений не противоречат гипотезе о том, что рассматриваемое тело изготовлено из алюминия.

Ответ: Результаты измерений не противоречат гипотезе, так как табличное значение плотности алюминия ($2.70 \text{ г/см}^3$) находится внутри полученного интервала значений $[2.4; 3.0]$ г/см³.