Номер 32, страница 233, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава IV. Статика. Параграф 24. Равновесие жидкости и газа - номер 32, страница 233.

Условие.

32. Ледяной куб с длиной ребра 10 см плавает в сосуде с водой.

а) Какой толщины слой нефти надо налить поверх воды, чтобы уровень нефти находился на одном уровне с верхней гранью куба?

б) Изменилась ли при этом глубина погружения куба в воду? Если да, то насколько?

Решение 2.

Дано:

Длина ребра ледяного куба, $a = 10 \text{ см}$

Плотность льда, $\rho_л = 900 \text{ кг/м}^3$

Плотность воды, $\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$

Плотность нефти, $\rho_н = 800 \text{ кг/м}^3$

Перевод в систему СИ:

$a = 0.1 \text{ м}$

Найти:

а) $h_н$ — толщина слоя нефти

б) Изменение глубины погружения куба в воду

Решение:

а)

Когда поверх воды налит слой нефти и уровень нефти находится на одном уровне с верхней гранью куба, куб плавает, будучи полностью погруженным в две жидкости. На него действуют три силы: сила тяжести $\text{P}$, направленная вниз, и две выталкивающие силы (силы Архимеда), направленные вверх, — со стороны воды $F_{А,в}$ и со стороны нефти $F_{А,н}$.

Сила тяжести, действующая на куб: $P = m_л g = \rho_л V_л g = \rho_л a^3 g$.

Пусть $h_в$ — глубина погружения куба в воду, а $h_н$ — толщина слоя нефти (и глубина погружения в нефть). Поскольку куб полностью покрыт жидкостями, сумма этих глубин равна длине ребра куба: $h_в + h_н = a$.

Выталкивающая сила со стороны воды: $F_{А,в} = \rho_в g V_{погр,в} = \rho_в g (a^2 h_в)$.

Выталкивающая сила со стороны нефти: $F_{А,н} = \rho_н g V_{погр,н} = \rho_н g (a^2 h_н)$.

Условие равновесия (плавания) куба: $P = F_{А,в} + F_{А,н}$.

$\rho_л a^3 g = \rho_в g a^2 h_в + \rho_н g a^2 h_н$.

Сократив обе части уравнения на $g a^2$, получаем: $\rho_л a = \rho_в h_в + \rho_н h_н$.

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $h_в$ и $h_н$: $ \begin{cases} h_в + h_н = a \\ \rho_в h_в + \rho_н h_н = \rho_л a \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $h_в = a - h_н$ и подставим во второе уравнение:

$\rho_в (a - h_н) + \rho_н h_н = \rho_л a$

$\rho_в a - \rho_в h_н + \rho_н h_н = \rho_л a$

$h_н (\rho_в - \rho_н) = a (\rho_в - \rho_л)$

$h_н = a \frac{\rho_в - \rho_л}{\rho_в - \rho_н}$

Подставим числовые значения:

$h_н = 0.1 \text{ м} \cdot \frac{1000 \text{ кг/м}^3 - 900 \text{ кг/м}^3}{1000 \text{ кг/м}^3 - 800 \text{ кг/м}^3} = 0.1 \text{ м} \cdot \frac{100}{200} = 0.1 \cdot 0.5 = 0.05 \text{ м}$.

Переведем в сантиметры: $h_н = 5 \text{ см}$.

Ответ: толщина слоя нефти, которую надо налить, составляет 5 см.

б)

Чтобы определить, изменилась ли глубина погружения куба в воду, найдем начальную и конечную глубины погружения и сравним их.

1. Начальная глубина погружения (до добавления нефти). Обозначим ее $h_{в0}$.

Когда куб плавает только в воде, его вес уравновешивается силой Архимеда со стороны воды:

$P = F_{А,в0} \implies \rho_л a^3 g = \rho_в g (a^2 h_{в0})$

$h_{в0} = a \frac{\rho_л}{\rho_в} = 0.1 \text{ м} \cdot \frac{900 \text{ кг/м}^3}{1000 \text{ кг/м}^3} = 0.1 \cdot 0.9 = 0.09 \text{ м} = 9 \text{ см}$.

2. Конечная глубина погружения в воду (после добавления нефти). Обозначим ее $h_в$.

Из решения пункта а) мы знаем, что $h_в = a - h_н$.

$h_в = 10 \text{ см} - 5 \text{ см} = 5 \text{ см}$.

3. Сравнение глубин.

Начальная глубина погружения в воду была 9 см, а конечная стала 5 см. Глубина погружения уменьшилась. Найдем, на сколько она уменьшилась:

$\Delta h = h_{в0} - h_в = 9 \text{ см} - 5 \text{ см} = 4 \text{ см}$.

Ответ: да, глубина погружения куба в воду изменилась; она уменьшилась на 4 см.