Номер 27, страница 232, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава IV. Статика. Параграф 24. Равновесие жидкости и газа - номер 27, страница 232.

Условие.

27. Медный цилиндр, подвешенный к динамометру, погружают полностью сначала в воду, а затем в керосин. Разность показаний динамометра в описанных опытах равна 2 Н. Чему равна масса цилиндра?

Решение 2.

Дано:
Разность показаний динамометра, $ \Delta P = 2 \text{ Н} $
Плотность воды, $ \rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3 $
Плотность керосина, $ \rho_к = 800 \text{ кг/м}^3 $
Плотность меди, $ \rho_м = 8900 \text{ кг/м}^3 $
Ускорение свободного падения, $ g \approx 10 \text{ Н/кг} $

Найти:
Массу цилиндра, $ m $

Решение:
Когда цилиндр подвешен на динамометре и погружен в жидкость, динамометр показывает вес тела в жидкости (кажущийся вес), который равен силе тяжести $ F_т $ за вычетом выталкивающей силы Архимеда $ F_A $.
$ P = F_т - F_A $
Сила тяжести цилиндра: $ F_т = mg = \rho_м V g $, где $ m $ - масса цилиндра, $ V $ - его объем.
Выталкивающая сила (сила Архимеда): $ F_A = \rho_ж g V $, где $ \rho_ж $ - плотность жидкости.

1. При погружении в воду показание динамометра $ P_в $:
$ P_в = mg - F_{А,в} = mg - \rho_в g V $

2. При погружении в керосин показание динамометра $ P_к $:
$ P_к = mg - F_{А,к} = mg - \rho_к g V $

Поскольку плотность воды ($ \rho_в $) больше плотности керосина ($ \rho_к $), выталкивающая сила в воде будет больше, а показания динамометра — меньше. Таким образом, разность показаний $ \Delta P $ равна:
$ \Delta P = P_к - P_в = (mg - \rho_к g V) - (mg - \rho_в g V) $
$ \Delta P = mg - \rho_к g V - mg + \rho_в g V $
$ \Delta P = (\rho_в - \rho_к) g V $

Из этого уравнения мы можем выразить объем цилиндра $ V $:
$ V = \frac{\Delta P}{g(\rho_в - \rho_к)} $

Масса медного цилиндра связана с его объемом и плотностью меди по формуле:
$ m = \rho_м V $

Подставим выражение для объема $ V $ в формулу для массы $ m $:
$ m = \rho_м \cdot \frac{\Delta P}{g(\rho_в - \rho_к)} $

Теперь подставим числовые значения и произведем расчет:
$ m = \frac{8900 \text{ кг/м}^3 \cdot 2 \text{ Н}}{10 \text{ Н/кг} \cdot (1000 \text{ кг/м}^3 - 800 \text{ кг/м}^3)} = \frac{17800}{10 \cdot 200} = \frac{17800}{2000} = 8.9 \text{ кг} $

Ответ: масса цилиндра равна 8,9 кг.