Номер 30, страница 233, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава IV. Статика. Параграф 24. Равновесие жидкости и газа - номер 30, страница 233.

Условие.

30. Доска толщиной 5 см плавает на поверхности воды, при этом нижняя поверхность доски находится на глубине 3,5 см. Как изменится глубина погружения доски в воду, если поверх воды налить слой керосина толщиной 1 см?

Решение 2.

Дано:

Толщина доски $H = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Начальная глубина погружения в воду $h_1 = 3.5 \text{ см} = 0.035 \text{ м}$

Толщина слоя керосина $h_к = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Плотность воды (табличное значение) $\rho_в \approx 1000 \text{ кг/м}^3$

Плотность керосина (табличное значение) $\rho_к \approx 800 \text{ кг/м}^3$

Найти:

Изменение глубины погружения доски в воду, $\Delta h$.

Решение:

1. В начальном состоянии доска плавает в воде. Согласно условию плавания тел, сила тяжести ($F_т$), действующая на доску, уравновешена выталкивающей силой Архимеда ($F_{А1}$), действующей со стороны воды.

$F_т = F_{А1}$

Сила тяжести определяется как $F_т = m_д g = \rho_д V_д g = \rho_д S H g$, где $\text{S}$ - площадь основания доски, $\text{H}$ - ее толщина, а $\rho_д$ - плотность материала доски.

Выталкивающая сила со стороны воды равна $F_{А1} = \rho_в V_{погр1} g = \rho_в S h_1 g$, где $V_{погр1}$ - объем погруженной в воду части доски, $h_1$ - глубина погружения.

Из равенства сил следует: $\rho_д S H g = \rho_в S h_1 g$, что можно упростить до:

$\rho_д H = \rho_в h_1$ (1)

2. После добавления керосина доска будет плавать на границе двух жидкостей. Сила тяжести $F_т$ не изменится, но теперь она будет уравновешена суммой двух выталкивающих сил: от воды ($F_{А2}$) и от керосина ($F_{Ак}$).

$F_т = F_{А2} + F_{Ак}$

Изначально над водой находилась часть доски высотой $H - h_1 = 5 \text{ см} - 3.5 \text{ см} = 1.5 \text{ см}$. Толщина слоя керосина составляет $h_к = 1 \text{ см}$. Поскольку $1.5 \text{ см} > 1 \text{ см}$, слой керосина не покроет доску полностью. Это означает, что в керосин будет погружена часть доски высотой, равной толщине слоя керосина, то есть $h_к$.

Пусть новая глубина погружения доски в воду будет $h_2$. Тогда выталкивающие силы будут равны:

$F_{Ак} = \rho_к V_{погр.к} g = \rho_к S h_к g$

$F_{А2} = \rho_в V_{погр.в} g = \rho_в S h_2 g$

Условие плавания примет вид: $\rho_д S H g = \rho_в S h_2 g + \rho_к S h_к g$.

Сократив $S g$, получаем: $\rho_д H = \rho_в h_2 + \rho_к h_к$ (2)

3. Теперь подставим в уравнение (2) выражение для $\rho_д H$ из уравнения (1):

$\rho_в h_1 = \rho_в h_2 + \rho_к h_к$

Выразим из этого уравнения новую глубину погружения в воду $h_2$:

$\rho_в h_2 = \rho_в h_1 - \rho_к h_к$

$h_2 = h_1 - \frac{\rho_к}{\rho_в} h_к$

Подставим числовые значения в СИ:

$h_2 = 0.035 \text{ м} - \frac{800 \text{ кг/м}^3}{1000 \text{ кг/м}^3} \cdot 0.01 \text{ м} = 0.035 \text{ м} - 0.8 \cdot 0.01 \text{ м} = 0.035 \text{ м} - 0.008 \text{ м} = 0.027 \text{ м}$.

Таким образом, новая глубина погружения в воду составляет $h_2 = 2.7 \text{ см}$.

4. Найдем, как изменилась глубина погружения:

$\Delta h = h_2 - h_1 = 2.7 \text{ см} - 3.5 \text{ см} = -0.8 \text{ см}$.

Отрицательное значение означает, что глубина погружения в воду уменьшилась.

Ответ: глубина погружения доски в воду уменьшится на 0,8 см.