Номер 29, страница 233, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава IV. Статика. Параграф 24. Равновесие жидкости и газа - номер 29, страница 233.

Условие.

29. Чему равна масса модели подводной лодки, изготовленной из пластмассы, плотность которой в 5 раз больше плотности воды, если объём полости в модели равен $200 \text{ см}^3$? Модель лодки плавает в воде, полностью погрузившись в воду.

Решение 2.

Дано:

$ \rho_{п} = 5 \rho_{в} $

$ V_{пол} = 200 \text{ см}^3 = 200 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 2 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3 $

$ \rho_{в} = 1000 \text{ кг/м}^3 $ (плотность воды)

Найти:

$ m $ - ?

Решение:

По условию, модель лодки плавает в воде, полностью погрузившись. Это означает, что сила тяжести, действующая на модель, уравновешена выталкивающей силой (силой Архимеда).

$ F_{т} = F_{А} $

Сила тяжести $ F_{т} $ равна $ m \cdot g $, где $ m $ - масса модели, а $ g $ - ускорение свободного падения.

Сила Архимеда $ F_{А} $ равна $ \rho_{в} \cdot g \cdot V_{т} $, где $ \rho_{в} $ - плотность воды, а $ V_{т} $ - общий объем модели (объем вытесненной воды), который равен сумме объема пластмассы ($ V_{п} $) и объема полости ($ V_{пол} $).

Приравняем силы:

$ m \cdot g = \rho_{в} \cdot g \cdot V_{т} $

Сократив $ g $, получим условие плавания:

$ m = \rho_{в} \cdot V_{т} $

Общий объем модели $ V_{т} $ равен:

$ V_{т} = V_{п} + V_{пол} $

Масса модели $ m $ - это масса пластмассы, из которой она изготовлена:

$ m = \rho_{п} \cdot V_{п} $

Из этого выражения найдем объем пластмассы:

$ V_{п} = \frac{m}{\rho_{п}} $

Теперь подставим выражения для $ V_{т} $ и $ V_{п} $ в условие плавания:

$ m = \rho_{в} \cdot (V_{п} + V_{пол}) $

$ m = \rho_{в} \cdot \left(\frac{m}{\rho_{п}} + V_{пол}\right) $

Раскроем скобки и выразим массу $ m $:

$ m = \frac{m \cdot \rho_{в}}{\rho_{п}} + \rho_{в} \cdot V_{пол} $

$ m - \frac{m \cdot \rho_{в}}{\rho_{п}} = \rho_{в} \cdot V_{пол} $

$ m \left(1 - \frac{\rho_{в}}{\rho_{п}}\right) = \rho_{в} \cdot V_{пол} $

По условию $ \rho_{п} = 5 \rho_{в} $, подставим это в уравнение:

$ m \left(1 - \frac{\rho_{в}}{5\rho_{в}}\right) = \rho_{в} \cdot V_{пол} $

$ m \left(1 - \frac{1}{5}\right) = \rho_{в} \cdot V_{пол} $

$ m \cdot \frac{4}{5} = \rho_{в} \cdot V_{пол} $

$ m = \frac{5}{4} \rho_{в} \cdot V_{пол} $

Подставим числовые значения в систему СИ:

$ m = \frac{5}{4} \cdot 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 2 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3 = 1.25 \cdot 1000 \cdot 2 \cdot 10^{-4} \text{ кг} = 1.25 \cdot 0.2 \text{ кг} = 0.25 \text{ кг} $

Можно также посчитать в граммах и кубических сантиметрах. Плотность воды $ \rho_{в} = 1 \text{ г/см}^3 $.

$ m = \frac{5}{4} \cdot 1 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} \cdot 200 \text{ см}^3 = 1.25 \cdot 200 \text{ г} = 250 \text{ г} $

Ответ: масса модели подводной лодки равна 0.25 кг (или 250 г).