Номер 33, страница 233, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 1. Механика. Глава IV. Статика. Параграф 24. Равновесие жидкости и газа - номер 33, страница 233.

Условие.

33. В озере находится деревянный куб массой 20 кг и объёмом $50 \, \text{дм}^3$, к которому прикреплена длинная стальная цепь. Куб полностью погружён в воду, а часть цепи лежит на дне. Масса 1 м цепи равна 2 кг. Считайте, что размерами куба по сравнению с длиной цепи можно пренебречь. Чему равна длина вертикальной части цепи?

Решение 2.

Дано:

$m_{куб} = 20 \text{ кг}$

$V_{куб} = 50 \text{ дм}^3$

$\lambda = 2 \text{ кг/м}$ (линейная плотность цепи)

$\rho_{воды} = 1000 \text{ кг/м}^3$ (плотность воды)

$\rho_{стали} \approx 7800 \text{ кг/м}^3$ (плотность стали, справочное значение)

$g \approx 10 \text{ Н/кг}$ (ускорение свободного падения)

Перевод в систему СИ:

$V_{куб} = 50 \text{ дм}^3 = 50 \cdot (10^{-1} \text{ м})^3 = 50 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 0.05 \text{ м}^3$

Найти:

$\text{L}$ - длина вертикальной части цепи.

Решение:

Поскольку куб находится в равновесии, сумма всех действующих на него сил равна нулю. На куб, полностью погруженный в воду, действуют три силы:

1. Сила Архимеда ($F_A$), направленная вертикально вверх.

2. Сила тяжести куба ($P_{куб}$), направленная вертикально вниз.

3. Сила натяжения цепи ($\text{T}$), создаваемая вертикальной частью цепи и направленная вертикально вниз.

Условие равновесия для куба можно записать в виде: $F_A = P_{куб} + T$.

Рассчитаем силу Архимеда, действующую на куб:

$F_A = \rho_{воды} \cdot g \cdot V_{куб} = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 0.05 \text{ м}^3 = 500 \text{ Н}$.

Рассчитаем силу тяжести (вес) куба:

$P_{куб} = m_{куб} \cdot g = 20 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} = 200 \text{ Н}$.

Теперь из условия равновесия найдем силу натяжения цепи $\text{T}$:

$T = F_A - P_{куб} = 500 \text{ Н} - 200 \text{ Н} = 300 \text{ Н}$.

Эта сила натяжения уравновешивается весом вертикальной части цепи, находящейся в воде. Вес тела в жидкости (кажущийся вес) равен разности его веса в воздухе и выталкивающей силы, действующей на него.

Пусть $\text{L}$ – искомая длина вертикальной части цепи. Тогда ее масса $m_{цепь} = \lambda \cdot L = 2L$.

Вес этой части цепи в воздухе: $P_{цепь} = m_{цепь} \cdot g = 2L \cdot 10 = 20L$.

Для расчета выталкивающей силы, действующей на цепь, найдем ее объем. Так как цепь стальная, используем плотность стали $\rho_{стали}$:

$V_{цепь} = \frac{m_{цепь}}{\rho_{стали}} = \frac{2L}{7800} \text{ м}^3$.

Сила Архимеда, действующая на вертикальную часть цепи:

$F_{A,цепь} = \rho_{воды} \cdot g \cdot V_{цепь} = 1000 \cdot 10 \cdot \frac{2L}{7800} = \frac{20000}{7800}L = \frac{100}{39}L$.

Сила натяжения $\text{T}$ равна весу цепи в воде:

$T = P_{цепь} - F_{A,цепь} = 20L - \frac{100}{39}L = (\frac{20 \cdot 39 - 100}{39})L = (\frac{780 - 100}{39})L = \frac{680}{39}L$.

Приравниваем два полученных выражения для силы натяжения $\text{T}$:

$300 = \frac{680}{39}L$.

Отсюда выражаем и находим длину $\text{L}$:

$L = \frac{300 \cdot 39}{680} = \frac{30 \cdot 39}{68} = \frac{15 \cdot 39}{34} = \frac{585}{34} \approx 17.2 \text{ м}$.

Ответ: Длина вертикальной части цепи равна примерно 17.2 м.