Номер 1, страница 151 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Параграф 25. Динамика равноускоренного движения материальной точки по окружности. Глава 3. Динамика. Механика - номер 1, страница 151.

Условие.

На карусели, ось вращения которой вертикальна, лежит кубик массой $m = 1$ кг. Расстояние от оси вращения до кубика $R = 2$ м. Коэффициент трения между кубиком и поверхностью карусели $\mu = 0,1$. Карусель начинают раскручивать с постоянным угловым ускорением $\varepsilon = 0,2$ рад/с$^2$. Определите, через какое время $\tau$ после начала раскручивания кубик начнёт соскальзывать с карусели.

Решение.

Дано:

$m = 1$ кг

$R = 2$ м

$\mu = 0,1$

$\epsilon = 0,2$ рад/с²

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$\tau$ — ?

Решение:

На кубик, находящийся на карусели, действуют три силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная вертикально вверх, и сила трения покоя $\vec{F}_{тр}$, лежащая в горизонтальной плоскости. Поскольку движение происходит в горизонтальной плоскости, силы по вертикали скомпенсированы: $N = mg$.

Сила трения покоя $\vec{F}_{тр}$ сообщает кубику ускорение $\vec{a}$, необходимое для движения по раскручивающейся спирали (в инерциальной системе отсчета). Это ускорение состоит из двух взаимно перпендикулярных компонент: тангенциальной $a_t$ и нормальной (центростремительной) $a_n$.

Тангенциальное ускорение $a_t$ связано с изменением модуля скорости и определяется угловым ускорением $\epsilon$:

$a_t = \epsilon R$

Нормальное ускорение $a_n$ отвечает за изменение направления вектора скорости и зависит от мгновенной угловой скорости $\omega$:

$a_n = \omega^2 R$

Поскольку карусель начинает вращаться из состояния покоя с постоянным угловым ускорением $\epsilon$, ее угловая скорость в момент времени $t$ равна:

$\omega(t) = \epsilon t$

Следовательно, нормальное ускорение в момент времени $t$ будет:

$a_n(t) = (\epsilon t)^2 R = \epsilon^2 t^2 R$

Полное ускорение $\vec{a}$ является векторной суммой тангенциального и нормального ускорений. Так как они перпендикулярны, модуль полного ускорения равен:

$a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2} = \sqrt{(\epsilon R)^2 + (\epsilon^2 t^2 R)^2}$

Согласно второму закону Ньютона, сила трения покоя, действующая на кубик, равна:

$F_{тр} = ma = m \sqrt{(\epsilon R)^2 + (\epsilon^2 t^2 R)^2}$

Кубик начнет соскальзывать в тот момент времени $\tau$, когда требуемая для его удержания сила трения достигнет максимального значения силы трения покоя $F_{тр.макс}$:

$F_{тр.макс} = \mu N = \mu mg$

Приравнивая выражения для силы трения в момент начала соскальзывания $\tau$, получаем:

$m \sqrt{(\epsilon R)^2 + (\epsilon^2 \tau^2 R)^2} = \mu mg$

Сократим массу $m$ и возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\epsilon R)^2 + (\epsilon^2 \tau^2 R)^2 = (\mu g)^2$

$\epsilon^2 R^2 + \epsilon^4 \tau^4 R^2 = (\mu g)^2$

Выразим из этого уравнения $\tau^4$:

$\epsilon^4 \tau^4 R^2 = (\mu g)^2 - (\epsilon R)^2$

$\tau^4 = \frac{(\mu g)^2 - (\epsilon R)^2}{\epsilon^4 R^2}$

Отсюда находим время $\tau$:

$\tau = \sqrt[4]{\frac{(\mu g)^2 - (\epsilon R)^2}{\epsilon^4 R^2}}$

Подставим числовые значения, приняв ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с²:

$(\mu g)^2 = (0,1 \cdot 10)^2 = 1^2 = 1$ (м/с²)²

$(\epsilon R)^2 = (0,2 \cdot 2)^2 = 0,4^2 = 0,16$ (м/с²)²

$\epsilon^4 R^2 = (0,2)^4 \cdot 2^2 = 0,0016 \cdot 4 = 0,0064$ м²/с⁸

$\tau^4 = \frac{1 - 0,16}{0,0064} = \frac{0,84}{0,0064} = 131,25$ с⁴

$\tau = \sqrt[4]{131,25} \approx 3,385$ с

Округляя до двух значащих цифр, получаем:

$\tau \approx 3,4$ с

Ответ: $\tau \approx 3,4$ с.