Номер 2, страница 147 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Упражнения. Параграф 24. Динамика равномерного движения материальной точки по окружности. Глава 3. Динамика. Механика - номер 2, страница 147.

Условие.

2. Автомобиль (рис. 133) массой $m = 1 \text{ т}$ равномерно движется по выпуклому мосту, поверхность которого представляет собой дугу окружности радиусом $r = 200 \text{ м}$. Определите силу $\vec{P}$, с которой автомобиль действует на мост в той точке, направление на которую из центра $O$ кривизны моста составляет с вертикалью угол $\alpha = 30^\circ$. Модуль скорости автомобиля $v = 72 \text{ км/ч}$.

Рис. 133

Решение.

Дано:

$m = 1$ т

$r = 200$ м

$\alpha = 30^\circ$

$v = 72$ км/ч

Примем ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$.

Перевод в систему СИ:

$m = 1 \text{ т} = 1000$ кг

$v = 72 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = \frac{72 \cdot 1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 20 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найти:

$P$ - ?

Решение:

Автомобиль движется по выпуклому мосту, который является дугой окружности. Следовательно, автомобиль движется с центростремительным ускорением $\vec{a}_c$, направленным к центру кривизны моста $O$.

На автомобиль действуют две силы: сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная перпендикулярно поверхности моста от центра кривизны $O$.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая этих сил равна произведению массы автомобиля на его ускорение:

$m\vec{a}_c = \vec{F_g} + \vec{N}$

Для решения задачи выберем систему координат, в которой одна из осей (радиальная ось) направлена вдоль радиуса к центру кривизны $O$. Спроецируем уравнение второго закона Ньютона на эту ось.

Проекция центростремительного ускорения на эту ось равна его модулю $a_c = \frac{v^2}{r}$, так как вектор $\vec{a}_c$ сонаправлен с осью.

Проекция силы нормальной реакции опоры $\vec{N}$ отрицательна, так как она направлена в противоположную сторону: $-N$.

Проекция силы тяжести $\vec{F_g}$ положительна и равна $F_g \cos\alpha = mg \cos\alpha$, где $\alpha$ — угол между направлением силы тяжести (вертикалью) и направлением на центр кривизны.

Таким образом, уравнение в проекции на радиальную ось имеет вид:

$m \frac{v^2}{r} = mg \cos\alpha - N$

Сила $\vec{P}$, с которой автомобиль действует на мост (вес автомобиля в данной точке), по третьему закону Ньютона равна по модулю и противоположна по направлению силе нормальной реакции опоры $\vec{N}$:

$P = N$

Из уравнения второго закона Ньютона выразим $N$:

$N = mg \cos\alpha - m \frac{v^2}{r}$

Следовательно, искомая сила $P$ равна:

$P = m(g \cos\alpha - \frac{v^2}{r})$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$P = 1000 \cdot (9.8 \cdot \cos30^\circ - \frac{20^2}{200}) = 1000 \cdot (9.8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{400}{200})$

$P = 1000 \cdot (9.8 \cdot 0.866 - 2) = 1000 \cdot (8.4868 - 2) = 1000 \cdot 6.4868 \approx 6487 \text{ Н}$

Округляя до двух значащих цифр, получаем $P \approx 6.5 \cdot 10^3 \text{ Н} = 6.5 \text{ кН}$.

Ответ: Сила, с которой автомобиль действует на мост, равна $P \approx 6.5$ кН.