Номер 1, страница 157 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Упражнения. Параграф 26. Закон всемирного тяготения. Движение планет и искусственных спутников. Глава 3. Динамика. Механика - номер 1, страница 157.

Условие.

1. Определите массу Земли, используя значения гравитационной постоянной и модуля ускорения свободного падения вблизи поверхности Земли.

Решение.

1. Определите массу Земли, используя значения гравитационной постоянной и модуля ускорения свободного падения вблизи поверхности Земли.

Дано:

Для решения этой задачи нам потребуются следующие справочные значения:

Модуль ускорения свободного падения у поверхности Земли: $g \approx 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Гравитационная постоянная: $G \approx 6.674 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Средний радиус Земли: $R_З \approx 6.37 \times 10^6 \text{ м}$

Все величины даны в Международной системе единиц (СИ).

Найти:

Массу Земли — $M_З$.

Решение:

Для нахождения массы Земли мы можем приравнять два выражения для силы тяжести, действующей на тело массой $m$ на поверхности планеты.

С одной стороны, согласно второму закону Ньютона, сила тяжести равна:

$F = mg$

С другой стороны, согласно закону всемирного тяготения, сила гравитационного притяжения между Землей (массой $M_З$) и телом (массой $m$), находящимся на её поверхности (на расстоянии $R_З$ от центра), равна:

$F = G \frac{M_З m}{R_З^2}$

Поскольку обе формулы описывают одну и ту же силу, мы можем их приравнять:

$mg = G \frac{M_З m}{R_З^2}$

Масса тела $m$ присутствует в обеих частях уравнения, поэтому мы можем её сократить:

$g = G \frac{M_З}{R_З^2}$

Теперь из этого выражения мы можем выразить искомую массу Земли $M_З$:

$M_З = \frac{g R_З^2}{G}$

Подставим известные нам числовые значения в полученную формулу и произведём вычисления:

$M_З = \frac{9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (6.37 \times 10^6 \text{ м})^2}{6.674 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}}$

$M_З = \frac{9.8 \cdot 40.5769 \times 10^{12}}{6.674 \times 10^{-11}} \text{ кг}$

$M_З = \frac{397.65 \times 10^{12}}{6.674 \times 10^{-11}} \text{ кг} \approx 59.59 \times 10^{23} \text{ кг}$

Округлив, получаем:

$M_З \approx 5.96 \times 10^{24} \text{ кг}$

Ответ: масса Земли, рассчитанная с использованием указанных значений, составляет примерно $5.96 \times 10^{24}$ кг.