Номер 4, страница 157 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Упражнения. Параграф 26. Закон всемирного тяготения. Движение планет и искусственных спутников. Глава 3. Динамика. Механика - номер 4, страница 157.

Условие.

4. Определите ускорение свободного падения на поверхности Луны, считая её однородным шаром, радиус которого в 3,7 раза меньше радиуса Земли, а масса в 81 раз меньше массы Земли. Оцените, какую минимальную по модулю скорость надо сообщить телу на поверхности Луны, чтобы оно стало спутником Луны, движущимся по круговой орбите вблизи её поверхности.

Решение.

Дано:

$R_З = 3.7 R_Л$

$M_З = 81 M_Л$

Справочные значения для Земли:

$g_З \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

$R_З \approx 6400 \text{ км}$

Перевод в систему СИ:

$R_З \approx 6.4 \times 10^6 \text{ м}$

Найти:

$g_Л$ — ускорение свободного падения на поверхности Луны

$v$ — минимальная скорость для выхода на круговую орбиту у поверхности Луны

Решение:

1. Определим ускорение свободного падения на поверхности Луны ($g_Л$).

Ускорение свободного падения на поверхности небесного тела определяется по формуле, следующей из закона всемирного тяготения:

$g = G \frac{M}{R^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса небесного тела, $R$ — его радиус.

Запишем выражения для ускорения свободного падения на поверхности Земли ($g_З$) и Луны ($g_Л$):

$g_З = G \frac{M_З}{R_З^2}$

$g_Л = G \frac{M_Л}{R_Л^2}$

Чтобы найти $g_Л$, составим отношение этих двух величин:

$\frac{g_Л}{g_З} = \frac{G \frac{M_Л}{R_Л^2}}{G \frac{M_З}{R_З^2}} = \frac{M_Л}{M_З} \cdot \frac{R_З^2}{R_Л^2} = \frac{M_Л}{M_З} \cdot \left(\frac{R_З}{R_Л}\right)^2$

Подставим в полученное выражение соотношения масс и радиусов из условия задачи: $\frac{M_Л}{M_З} = \frac{1}{81}$ и $\frac{R_З}{R_Л} = 3.7$.

$\frac{g_Л}{g_З} = \frac{1}{81} \cdot (3.7)^2 = \frac{13.69}{81} \approx 0.169$

Теперь вычислим $g_Л$, зная, что $g_З \approx 9.8 \text{ м/с}^2$:

$g_Л = g_З \cdot 0.169 \approx 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 0.169 \approx 1.6562 \text{ м/с}^2$

Округлим значение до сотых: $g_Л \approx 1.66 \text{ м/с}^2$.

2. Оценим минимальную скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно стало спутником Луны на низкой круговой орбите (первую космическую скорость).

Для движения тела по круговой орбите вблизи поверхности Луны, сила тяготения, действующая на него со стороны Луны, должна создавать необходимое центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона:

$F_{тяг} = m a_{ц.с.}$

Сила тяготения у поверхности равна $F_{тяг} = m g_Л$, а центростремительное ускорение $a_{ц.с.} = \frac{v^2}{R_Л}$. Тогда:

$m g_Л = \frac{m v^2}{R_Л}$

Сократив массу тела $m$, получим формулу для первой космической скорости:

$v = \sqrt{g_Л R_Л}$

Предварительно вычислим радиус Луны $R_Л$:

$R_Л = \frac{R_З}{3.7} \approx \frac{6.4 \times 10^6 \text{ м}}{3.7} \approx 1.73 \times 10^6 \text{ м}$

Подставим найденные значения $g_Л$ и $R_Л$ в формулу для скорости:

$v = \sqrt{1.66 \text{ м/с}^2 \cdot 1.73 \times 10^6 \text{ м}} \approx \sqrt{2.8718 \times 10^6 \text{ м}^2/\text{с}^2} \approx 1695 \text{ м/с}$

Переведем результат в км/с и округлим:

$v \approx 1.7 \text{ км/с}$

Ответ: ускорение свободного падения на поверхности Луны составляет примерно $1.66 \text{ м/с}^2$, а минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу для превращения его в спутник на окололунной орбите, равна примерно $1.7 \text{ км/с}$.