Номер 5, страница 157 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Упражнения. Параграф 26. Закон всемирного тяготения. Движение планет и искусственных спутников. Глава 3. Динамика. Механика - номер 5, страница 157.

Условие.

5. Определите период обращения и модуль скорости движения искусственного спутника Земли, радиус круговой орбиты которого равен десяти радиусам Земли.

Решение.

Дано:

Радиус круговой орбиты спутника: $r = 10 R_З$

Справочные данные:

Средний радиус Земли: $R_З \approx 6,4 \cdot 10^6$ м

Ускорение свободного падения у поверхности Земли: $g \approx 9,8$ м/с$^2$

Найти:

$v$ — модуль скорости движения спутника

$T$ — период обращения спутника

Решение:

Спутник движется по круговой орбите под действием силы всемирного тяготения, которая играет роль центростремительной силы. Согласно второму закону Ньютона, мы можем записать равенство:

$F_г = F_ц$

$G \frac{M m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса Земли, $m$ — масса спутника.

Модуль скорости движения

Из основного уравнения движения выразим модуль скорости $v$:

$v^2 = G \frac{M}{r} \implies v = \sqrt{\frac{G M}{r}}$

Ускорение свободного падения у поверхности Земли определяется формулой $g = \frac{G M}{R_З^2}$, из которой можно выразить произведение $G M = g R_З^2$. Подставим это выражение, а также радиус орбиты $r = 10 R_З$ в формулу для скорости:

$v = \sqrt{\frac{g R_З^2}{10 R_З}} = \sqrt{\frac{g R_З}{10}}$

Теперь подставим числовые значения и произведем вычисления:

$v = \sqrt{\frac{9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 6,4 \cdot 10^6 \text{ м}}{10}} = \sqrt{6,272 \cdot 10^6} \text{ м/с} \approx 2504 \text{ м/с} \approx 2,5 \text{ км/с}$

Ответ: модуль скорости движения спутника составляет примерно $2,5$ км/с.

Период обращения

Период обращения $T$ — это время, за которое спутник совершает один полный оборот по орбите. Он равен отношению длины орбиты $L = 2 \pi r$ к скорости движения $v$:

$T = \frac{2 \pi r}{v}$

Подставим в эту формулу $r = 10 R_З$ и полученное ранее выражение для скорости $v$:

$T = \frac{2 \pi (10 R_З)}{\sqrt{\frac{g R_З}{10}}} = 20 \pi R_З \sqrt{\frac{10}{g R_З}} = 20 \pi \sqrt{\frac{10 R_З^2}{g R_З}} = 20 \pi \sqrt{\frac{10 R_З}{g}}$

Произведем вычисления:

$T = 20 \pi \sqrt{\frac{10 \cdot 6,4 \cdot 10^6 \text{ м}}{9,8 \text{ м/с}^2}} \approx 62,83 \cdot \sqrt{6,53 \cdot 10^6} \text{ с} \approx 62,83 \cdot 2555 \text{ с} \approx 160520 \text{ с}$

Округлим результат и для наглядности можем перевести его в часы:

$T \approx 1,6 \cdot 10^5$ с

$T \approx \frac{160520 \text{ с}}{3600 \text{ с/ч}} \approx 44,6$ часа

Ответ: период обращения спутника составляет примерно $1,6 \cdot 10^5$ с (что равно примерно $44,6$ часам).