Номер 8, страница 156 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Вопросы. Параграф 26. Закон всемирного тяготения. Движение планет и искусственных спутников. Глава 3. Динамика. Механика - номер 8, страница 156.

Условие.

8. Что называют первой космической скоростью?

Решение.

Первая космическая скорость (или круговая скорость) — это минимальная скорость, которую необходимо сообщить объекту, находящемуся на пренебрежимо малой высоте над поверхностью планеты, чтобы он стал её искусственным спутником и начал двигаться по круговой орбите.

Физический смысл первой космической скорости заключается в достижении равновесия между силой гравитационного притяжения планеты и центробежной силой, возникающей при движении объекта по криволинейной траектории. Сила тяжести, действующая на спутник, сообщает ему центростремительное ускорение, которое постоянно изменяет направление вектора скорости, заставляя спутник двигаться по окружности, а не улетать в космос по касательной или падать на поверхность планеты.

Формулу для первой космической скорости можно вывести, приравняв силу всемирного тяготения к центростремительной силе (согласно второму закону Ньютона):
$F_{тяг} = F_{ц}$
$G \frac{Mm}{R^2} = m \frac{v_1^2}{R}$
где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса планеты, $m$ — масса спутника, $R$ — радиус планеты (радиус орбиты), $v_1$ — первая космическая скорость.

Сократив массу спутника $m$ и радиус $R$, получим выражение для скорости:
$v_1^2 = \frac{GM}{R}$
$v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$

Также можно выразить первую космическую скорость через ускорение свободного падения у поверхности планеты $g$, используя формулу $g = \frac{GM}{R^2}$, откуда $GM = gR^2$. Подставив это в предыдущее выражение, получим более простую формулу:
$v_1 = \sqrt{\frac{gR^2}{R}} = \sqrt{gR}$

Для планеты Земля, где средний радиус $R \approx 6400 \, \text{км} = 6.4 \cdot 10^6 \, \text{м}$ и ускорение свободного падения у поверхности $g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2$, первая космическая скорость составляет:
$v_1 = \sqrt{9.8 \, \text{м/с}^2 \cdot 6.4 \cdot 10^6 \, \text{м}} \approx 7920 \, \text{м/с} \approx 7.9 \, \text{км/с}$.

Ответ: Первой космической скоростью называют минимальную горизонтальную скорость, которую необходимо придать телу у поверхности планеты, чтобы оно вышло на круговую орбиту и стало её искусственным спутником. Для Земли она составляет примерно 7.9 км/с.