Номер 1, страница 170 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Механика. Глава 4. Законы сохранения в механике. Параграф 28. Импульс. Изменение импульса материальной точки. Упражнения - номер 1, страница 170.

Условие.

1. Материальная точка массой $1 \text{ кг}$ движется равномерно в положительном направлении оси $X$ ИСО со скоростью, модуль которой равен $3 \text{ м/с}$. В некоторый момент времени на неё начинает действовать сила, модуль которой равен $4 \text{ Н}$. Время действия силы равно $1 \text{ с}$. Определите начальный и конечный импульсы этой точки, а также её конечную скорость в двух случаях: а) сила действует в положительном направлении оси $X$; б) сила действует в положительном направлении оси $Y$. Изобразите полученные результаты на плоскости $XY$.

Решение.

Дано

Масса материальной точки $m = 1 \text{ кг}$
Начальная скорость $v_0 = 3 \text{ м/с}$ (направлена вдоль оси OX)
Модуль силы $F = 4 \text{ Н}$
Время действия силы $\Delta t = 1 \text{ с}$

Найти:

начальный импульс $\vec{p}_0$
конечный импульс $\vec{p}$
конечную скорость $\vec{v}$
для случаев а) и б)

Решение

Начальный импульс материальной точки определяется как произведение ее массы на начальную скорость. Так как точка движется в положительном направлении оси X, начальная скорость в векторной форме равна $\vec{v}_0 = (3; 0) \text{ м/с}$.

$\vec{p}_0 = m \cdot \vec{v}_0 = 1 \text{ кг} \cdot (3; 0) \text{ м/с} = (3; 0) \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

Модуль начального импульса: $p_0 = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$. Этот импульс является начальным для обоих случаев.

Изменение импульса тела равно импульсу действующей на него силы, согласно второму закону Ньютона в импульсной форме:

$\Delta \vec{p} = \vec{p} - \vec{p}_0 = \vec{F} \Delta t$

Отсюда конечный импульс: $\vec{p} = \vec{p}_0 + \vec{F} \Delta t$.

Конечная скорость находится из определения импульса: $\vec{v} = \frac{\vec{p}}{m}$.

а) сила действует в положительном направлении оси X

В этом случае вектор силы $\vec{F} = (4; 0) \text{ Н}$.

Найдем импульс силы: $\vec{F} \Delta t = (4; 0) \text{ Н} \cdot 1 \text{ с} = (4; 0) \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

Конечный импульс $\vec{p}_{а}$:

$\vec{p}_{а} = \vec{p}_0 + \vec{F} \Delta t = (3; 0) + (4; 0) = (7; 0) \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

Модуль конечного импульса: $p_{а} = 7 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

Конечная скорость $\vec{v}_{а}$:

$\vec{v}_{а} = \frac{\vec{p}_{а}}{m} = \frac{(7; 0) \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{1 \text{ кг}} = (7; 0) \text{ м/с}$.

Модуль конечной скорости: $v_{а} = 7 \text{ м/с}$.

Ответ: начальный импульс $p_0 = 3 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$, конечный импульс $p_а = 7 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$, конечная скорость $v_а = 7 \text{ м/с}$.

б) сила действует в положительном направлении оси Y

В этом случае вектор силы $\vec{F} = (0; 4) \text{ Н}$.

Найдем импульс силы: $\vec{F} \Delta t = (0; 4) \text{ Н} \cdot 1 \text{ с} = (0; 4) \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

Конечный импульс $\vec{p}_{б}$:

$\vec{p}_{б} = \vec{p}_0 + \vec{F} \Delta t = (3; 0) + (0; 4) = (3; 4) \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

Модуль конечного импульса найдем по теореме Пифагора:

$p_{б} = \sqrt{p_{бx}^2 + p_{бy}^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

Конечная скорость $\vec{v}_{б}$:

$\vec{v}_{б} = \frac{\vec{p}_{б}}{m} = \frac{(3; 4) \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{1 \text{ кг}} = (3; 4) \text{ м/с}$.

Модуль конечной скорости: $v_{б} = \sqrt{v_{бx}^2 + v_{бy}^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \text{ м/с}$.

Ответ: начальный импульс $p_0 = 3 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$, конечный импульс $p_б = 5 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$, конечная скорость $v_б = 5 \text{ м/с}$.

Изображение результатов на плоскости XY

На рисунках показаны векторы начального импульса (синий), импульса силы (зеленый, пунктирный) и конечного импульса (красный) для каждого случая.

Случай а):

Случай б):