Номер 3, страница 176 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Упражнения. Параграф 29. Система тел. Закон сохранения импульса. Глава 4. Законы сохранения в механике. Механика - номер 3, страница 176.

Условие.

3. Плот массой $m = 30 \text{ кг}$ движется по инерции вдоль берега озера со скоростью, модуль которой $v = 0,5 \text{ м/с}$. Человек массой $M = 80 \text{ кг}$ прыгает с плота на берег в направлении, перпендикулярном скорости плота. Модуль горизонтальной составляющей скорости человека в направлении берега сразу после отрыва от плота $V = 0,5 \text{ м/с}$. Определите импульс и скорость плота сразу после прыжка человека. Трением плота о воду пренебречь.

Решение.

Дано:

$m = 30$ кг (масса плота)

$v = 0.5$ м/с (начальная скорость плота)

$M = 80$ кг (масса человека)

$V = 0.5$ м/с (перпендикулярная составляющая скорости человека)

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

$u$ - скорость плота после прыжка

$p'$ - импульс плота после прыжка

Решение:

Рассмотрим систему "плот + человек". Поскольку трением плота о воду пренебрегаем, система является замкнутой в горизонтальной плоскости, и для нее выполняется закон сохранения импульса.

Введем декартову систему координат. Ось Ox направим вдоль берега, по направлению начального движения плота. Ось Oy направим перпендикулярно оси Ox, в сторону, куда прыгает человек (к берегу).

До прыжка плот и человек двигались вместе как единое целое. Их начальная скорость $\vec{v}$ была направлена вдоль оси Ox. Начальный импульс системы $\vec{P}_{нач}$ равен:

$\vec{P}_{нач} = (m+M)\vec{v}$

В проекциях на оси координат:

$P_{нач,x} = (m+M)v$

$P_{нач,y} = 0$

Сразу после прыжка скорость плота станет $\vec{u} = (u_x, u_y)$, а скорость человека относительно земли $\vec{V}_{чел} = (V_{чел,x}, V_{чел,y})$. Конечный импульс системы $\vec{P}_{кон}$ равен:

$\vec{P}_{кон} = m\vec{u} + M\vec{V}_{чел}$

Поскольку человек прыгает в направлении, перпендикулярном начальной скорости (вдоль оси Oy), сила взаимодействия между ним и плотом направлена только вдоль этой оси. Это означает, что проекция импульса системы на ось Ox сохраняется для каждого тела в отдельности. Таким образом, проекции скоростей на ось Ox не изменятся:

$u_x = v = 0.5$ м/с

$V_{чел,x} = v = 0.5$ м/с

Согласно закону сохранения импульса для всей системы, проекция суммарного импульса на ось Oy также сохраняется:

$P_{нач,y} = P_{кон,y}$

$0 = mu_y + MV_{чел,y}$

Из условия задачи, проекция скорости человека на ось Oy (в направлении берега) равна $V_{чел,y} = V = 0.5$ м/с. Подставим это значение в уравнение:

$0 = mu_y + MV$

Выразим отсюда проекцию скорости плота на ось Oy:

$u_y = -\frac{MV}{m} = -\frac{80 \text{ кг} \cdot 0.5 \text{ м/с}}{30 \text{ кг}} = -\frac{40}{30} \text{ м/с} = -\frac{4}{3} \text{ м/с}$

Знак "минус" указывает на то, что плот приобретает скорость в направлении, противоположном прыжку человека (от берега).

Теперь, зная обе компоненты скорости плота $u_x$ и $u_y$, мы можем определить его итоговую скорость и импульс.

Скорость плота

Модуль скорости плота $u$ найдем по теореме Пифагора:

$u = \sqrt{u_x^2 + u_y^2} = \sqrt{(0.5)^2 + (-\frac{4}{3})^2} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{9+64}{36}} = \sqrt{\frac{73}{36}} = \frac{\sqrt{73}}{6} \text{ м/с}$

Приближенное значение: $u \approx 1.42$ м/с.

Ответ: скорость плота сразу после прыжка человека равна $\frac{\sqrt{73}}{6}$ м/с, что примерно составляет $1.42$ м/с.

Импульс плота

Модуль импульса плота $p'$ равен произведению его массы на модуль его скорости:

$p' = m \cdot u = 30 \text{ кг} \cdot \frac{\sqrt{73}}{6} \text{ м/с} = 5\sqrt{73} \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

Приближенное значение: $p' \approx 42.7$ кг·м/с.

Ответ: импульс плота сразу после прыжка человека равен $5\sqrt{73}$ кг·м/с, что примерно составляет $42.7$ кг·м/с.