Номер 4, страница 176 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Механика. Глава 4. Законы сохранения в механике. Параграф 29. Система тел. Закон сохранения импульса. Упражнения - номер 4, страница 176.

Условие.

4. Лодка массой $M$ с находящимся в ней человеком массой $m$ неподвижно стоит на поверхности озера. Человек встаёт и идёт по лодке. Определите скорость, с которой будет двигаться человек относительно воды, если относительно лодки он движется со скоростью, модуль которой равен $v$. Трением лодки о воду пренебречь.

Решение.

Дано:

$M$ - масса лодки

$m$ - масса человека

$v$ - модуль скорости человека относительно лодки

Найти:

$u$ - скорость человека относительно воды

Решение:

Рассмотрим систему, состоящую из лодки и человека. Так как по условию трением лодки о воду можно пренебречь, а остальные внешние силы (сила тяжести и выталкивающая сила) уравновешены, систему можно считать замкнутой в горизонтальном направлении. Для такой системы справедлив закон сохранения импульса.

Выберем систему отсчета, связанную с неподвижной водой. Изначально лодка и человек находятся в состоянии покоя, поэтому начальный суммарный импульс системы равен нулю:

$p_{начальный} = 0$

Когда человек начинает двигаться по лодке, он приобретает скорость $\vec{u}$ относительно воды, а лодка — скорость $\vec{U}$ относительно воды. Конечный импульс системы будет равен сумме импульсов человека и лодки:

$\vec{p}_{конечный} = m\vec{u} + M\vec{U}$

Согласно закону сохранения импульса, $\vec{p}_{начальный} = \vec{p}_{конечный}$, следовательно:

$m\vec{u} + M\vec{U} = 0$

Это векторное уравнение. Выберем ось X, направленную в сторону движения человека. Тогда проекции скоростей на эту ось будут $u$ и $U$. Скорость человека будет положительной, а лодка, в силу сохранения импульса, будет двигаться в противоположную сторону, то есть ее скорость будет отрицательной.

$mu + MU = 0$ (1)

Скорость человека относительно воды ($\vec{u}$) связана со скоростью человека относительно лодки ($\vec{v}$) и скоростью лодки относительно воды ($\vec{U}$) по закону сложения скоростей:

$\vec{u} = \vec{v} + \vec{U}$

В проекции на ось X:

$u = v + U$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными ($u$ и $U$). Решим ее. Из уравнения (1) выразим скорость лодки $U$:

$U = -\frac{m}{M}u$

Подставим это выражение в уравнение (2):

$u = v + \left(-\frac{m}{M}u\right)$

$u = v - \frac{m}{M}u$

Теперь выразим искомую скорость человека $u$:

$u + \frac{m}{M}u = v$

$u\left(1 + \frac{m}{M}\right) = v$

$u\left(\frac{M+m}{M}\right) = v$

$u = v \frac{M}{M+m}$

Ответ: Скорость, с которой будет двигаться человек относительно воды, определяется по формуле $u = v \frac{M}{M+m}$.