Номер 3, страница 182 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Механика. Глава 4. Законы сохранения в механике. Параграф 30. Центр масс. Теорема о движении центра масс. Упражнения - номер 3, страница 182.

Условие.

3. Докажите, что центр масс симметричного тела, имеющего более одной оси симметрии, находится в точке пересечения этих осей.

Решение.

Решение

По определению, радиус-вектор центра масс $ \vec{r}_c $ для непрерывного тела определяется формулой:

$ \vec{r}_c = \frac{1}{M} \int_V \vec{r} \, dm $

где $ M $ – полная масса тела, $ \vec{r} $ – радиус-вектор элементарной массы $ dm $, а интегрирование производится по всему объему тела $ V $.

Для однородного тела с плотностью $ \rho $, $ dm = \rho dV $, и формула принимает вид:

$ \vec{r}_c = \frac{1}{V} \int_V \vec{r} \, dV $

1. Докажем, что центр масс лежит на оси симметрии.

Рассмотрим тело, имеющее ось симметрии. Выберем систему координат так, чтобы эта ось симметрии совпадала с одной из координатных осей, например, с осью $ Oz $.

Осевая симметрия означает, что для любой элементарной массы $ dm $, находящейся в точке с координатами $ (x, y, z) $, в теле найдется точно такая же элементарная масса $ dm $ в симметричной точке с координатами $ (-x, -y, z) $.

Найдем координаты центра масс $ x_c $ и $ y_c $:

$ x_c = \frac{1}{M} \int_V x \, dm $

$ y_c = \frac{1}{M} \int_V y \, dm $

Из-за симметрии тела относительно оси $ Oz $, мы можем разбить все тело на пары симметричных элементарных масс. Для каждой такой пары, находящейся в точках $ (x, y, z) $ и $ (-x, -y, z) $, их вклад в интеграл для $ x_c $ будет равен $ x \, dm + (-x) \, dm = 0 $. Аналогично, их вклад в интеграл для $ y_c $ будет равен $ y \, dm + (-y) \, dm = 0 $.

Поскольку все тело можно представить как совокупность таких симметричных пар, полные интегралы по всему объему будут равны нулю:

$ \int_V x \, dm = 0 $ и $ \int_V y \, dm = 0 $

Следовательно, $ x_c = 0 $ и $ y_c = 0 $. Это означает, что центр масс тела лежит на оси симметрии $ Oz $.

Таким образом, мы доказали, что центр масс любого симметричного тела лежит на его оси симметрии.

2. Рассмотрим тело, имеющее более одной оси симметрии.

Пусть тело имеет как минимум две оси симметрии, назовем их $ L_1 $ и $ L_2 $. Эти оси для твердого тела обязательно пересекаются в одной точке.

Исходя из доказанного в пункте 1:

• Поскольку $ L_1 $ является осью симметрии, центр масс тела должен лежать на оси $ L_1 $.
• Поскольку $ L_2 $ является осью симметрии, центр масс тела также должен лежать на оси $ L_2 $.

Единственная точка, которая одновременно принадлежит двум пересекающимся прямым ($ L_1 $ и $ L_2 $), — это точка их пересечения.

Следовательно, центр масс тела должен находиться в точке пересечения этих осей симметрии.

Если у тела есть и другие оси симметрии ($ L_3, L_4, ... $), то все они будут пересекаться в той же точке, и по аналогичной логике центр масс должен лежать на каждой из них, что только подтверждает вывод.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Центр масс симметричного тела должен лежать на каждой из его осей симметрии. Если у тела есть более одной оси симметрии, то его центр масс должен одновременно принадлежать им всем, что возможно только в точке их пересечения. Таким образом, центр масс находится в точке пересечения осей симметрии.