Номер 4, страница 192 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Механика. Глава 4. Законы сохранения в механике. Параграф 32. Кинетическая энергия. Упражнения - номер 4, страница 192.

Условие.

4. Определите кинетическую энергию тонкого обруча массой $M$ и радиусом $R$, вращающегося вокруг своей неподвижной в ИСО оси с угловой скоростью $\omega$. (Подсказка: представьте обруч как систему большого числа материальных точек.)

Решение.

Дано:

Тонкий обруч

Масса обруча: $M$

Радиус обруча: $R$

Угловая скорость вращения: $\omega$

Ось вращения неподвижна.

Найти:

Кинетическую энергию обруча: $E_k$

Решение:

Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, вычисляется как сумма кинетических энергий всех его элементарных частей. Воспользуемся подсказкой и представим обруч как совокупность большого числа материальных точек (малых элементов массы) $m_i$.

Полная кинетическая энергия обруча $E_k$ равна сумме кинетических энергий этих точек:

$E_k = \sum E_{k,i} = \sum \frac{m_i v_i^2}{2}$

где $v_i$ — линейная скорость $i$-й точки.

Так как обруч является тонким, все его точки находятся на одинаковом расстоянии $R$ от оси вращения. Линейная скорость каждой точки связана с угловой скоростью $\omega$ соотношением $v_i = \omega R$. Это означает, что все точки обруча движутся с одинаковой по модулю линейной скоростью $v = \omega R$.

Подставим это выражение в формулу для полной кинетической энергии:

$E_k = \sum \frac{m_i (\omega R)^2}{2}$

Поскольку величины $\omega$ и $R$ одинаковы для всех точек обруча, множитель $\frac{(\omega R)^2}{2}$ можно вынести за знак суммы:

$E_k = \frac{(\omega R)^2}{2} \sum m_i$

Сумма масс всех материальных точек $\sum m_i$ равна полной массе обруча $M$.

$\sum m_i = M$

Следовательно, кинетическая энергия вращающегося обруча равна:

$E_k = \frac{M (\omega R)^2}{2} = \frac{M R^2 \omega^2}{2}$

Этот же результат можно получить, используя общую формулу для кинетической энергии вращательного движения: $E_k = \frac{I \omega^2}{2}$, где $I$ — момент инерции тела. Для тонкого обруча, вращающегося вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости, момент инерции равен $I = M R^2$. Подстановка этого значения в формулу дает тот же ответ.

Ответ: $E_k = \frac{M R^2 \omega^2}{2}$.