Номер 4, страница 363 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Молекулярная физика и термодинамика. Глава 9. Агрегатные состояния вещества. Фазовые переходы. Параграф 66. Поверхностное натяжение. Упражнения - номер 4, страница 363.

Условие.

4. Какую работу против сил поверхностного натяжения нужно совершить, чтобы разделить на два равных шарика ртутный шарик радиусом $r = 3\text{ мм}$? Коэффициент поверхностного натяжения ртути $\sigma_\text{p} = 0,465\text{ Н/м}.

Решение.

Дано:

Радиус ртутного шарика, $r = 3$ мм.

Коэффициент поверхностного натяжения ртути, $\sigma_р = 0,465$ Н/м.

Перевод в систему СИ:

$r = 3 \cdot 10^{-3}$ м.

Найти:

Работу против сил поверхностного натяжения, $A$.

Решение:

Работа, совершаемая против сил поверхностного натяжения, равна изменению поверхностной энергии жидкости. Она вычисляется по формуле:

$A = \sigma_р \cdot \Delta S$

где $\sigma_р$ — коэффициент поверхностного натяжения, а $\Delta S$ — изменение площади поверхности жидкости.

Изменение площади поверхности равно разности между конечной площадью поверхности (двух маленьких шариков) и начальной (одного большого шарика):

$\Delta S = S_{кон} - S_{нач}$

Начальная площадь поверхности одного ртутного шарика радиусом $r$ равна:

$S_{нач} = 4 \pi r^2$

При разделении исходного шарика на два равных шарика их суммарный объем сохраняется. Найдем радиус $r_1$ каждого из двух получившихся шариков. Объем исходного шарика $V = \frac{4}{3} \pi r^3$. Суммарный объем двух новых шариков $V_{кон} = 2 \cdot V_1 = 2 \cdot \frac{4}{3} \pi r_1^3$.

Из условия сохранения объема $V = V_{кон}$ имеем:

$\frac{4}{3} \pi r^3 = 2 \cdot \frac{4}{3} \pi r_1^3$

Отсюда находим связь между радиусами:

$r^3 = 2 r_1^3 \implies r_1 = \frac{r}{\sqrt[3]{2}}$

Конечная площадь поверхности, равная сумме площадей поверхностей двух новых шариков, составляет:

$S_{кон} = 2 \cdot (4 \pi r_1^2) = 8 \pi r_1^2$

Подставим в это выражение найденный радиус $r_1$:

$S_{кон} = 8 \pi \left(\frac{r}{\sqrt[3]{2}}\right)^2 = 8 \pi \frac{r^2}{2^{2/3}} = 2 \cdot (4 \pi r^2) \cdot 2^{-2/3} = 2^{1/3} \cdot (4 \pi r^2) = \sqrt[3]{2} S_{нач}$

Теперь найдем изменение площади поверхности:

$\Delta S = S_{кон} - S_{нач} = \sqrt[3]{2} S_{нач} - S_{нач} = S_{нач}(\sqrt[3]{2} - 1) = 4 \pi r^2 (\sqrt[3]{2} - 1)$

Тогда формула для работы примет вид:

$A = \sigma_р \cdot 4 \pi r^2 (\sqrt[3]{2} - 1)$

Подставим числовые значения и произведем расчеты:

$A = 0,465 \frac{Н}{м} \cdot 4 \pi (3 \cdot 10^{-3} м)^2 (\sqrt[3]{2} - 1)$

$A = 0,465 \cdot 4 \pi \cdot 9 \cdot 10^{-6} \cdot (\sqrt[3]{2} - 1)$

$A \approx 0,465 \cdot 4 \cdot 3,1416 \cdot 9 \cdot 10^{-6} \cdot (1,2599 - 1)$

$A \approx 52,59 \cdot 10^{-6} \cdot 0,2599$

$A \approx 13,67 \cdot 10^{-6}$ Дж.

Работу можно выразить в микроджоулях: $A \approx 13,7$ мкДж.

Ответ: работа против сил поверхностного натяжения равна $A \approx 13,7 \cdot 10^{-6}$ Дж.