Номер 5, страница 363 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Упражнения. Параграф 66. Поверхностное натяжение. Глава 9. Агрегатные состояния вещества. Фазовые переходы. Молекулярная физика и термодинамика - номер 5, страница 363.

Условие.

5. Радиус канала стеклянной трубки ртутного барометра Торричелли $r = 1$ мм. Какую поправку (в миллиметрах ртутного столба) нужно вводить, чтобы получить верное значение атмосферного давления, измеряя высоту уровня ртути в трубке по верхнему краю выпуклой поверхности ртути (мениска) относительно её уровня в широкой чашке барометра? Коэффициент поверхностного натяжения ртути равен $\sigma_p = 0,465$ Н/м. Считайте, что мениск имеет форму полусферы.

Решение.

Дано:

Радиус канала трубки, $r = 1 \text{ мм}$

Коэффициент поверхностного натяжения ртути, $\sigma_р = 0,465 \text{ Н/м}$

Форма мениска - полусфера

Плотность ртути (справочное значение), $\rho = 13600 \text{ кг/м}^3$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:

$r = 1 \text{ мм} = 1 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Найти:

Поправку $\Delta h$

Решение:

Атмосферное давление $P_{атм}$ уравновешивается давлением столба ртути и дополнительным (капиллярным) давлением, создаваемым выпуклым мениском. Так как ртуть не смачивает стекло, ее мениск выпуклый, и силы поверхностного натяжения направлены вниз, понижая уровень ртути в трубке.

Давление, которое соответствовало бы истинному атмосферному давлению, создается столбом ртути идеальной высоты $h_{ид}$: $P_{атм} = \rho g h_{ид}$.

В реальности, из-за кривизны поверхности возникает дополнительное давление Лапласа $\Delta P$, которое действует на жидкость. Для сферической поверхности: $\Delta P = \frac{2\sigma_р}{R}$, где $R$ – радиус кривизны мениска.

По условию, мениск имеет форму полусферы, значит, его радиус кривизны $R$ равен радиусу трубки $r$. Таким образом, $\Delta P = \frac{2\sigma_р}{r}$.

Это дополнительное давление эквивалентно понижению столба ртути на высоту $h_{кап}$: $h_{кап} = \frac{\Delta P}{\rho g} = \frac{2\sigma_р}{\rho g r}$.

Пусть $h_{конт}$ – это высота столба ртути у стенок трубки. Тогда идеальная высота, которая соответствовала бы атмосферному давлению без учета капиллярных явлений, была бы выше на величину капиллярного понижения: $h_{ид} = h_{конт} + h_{кап}$.

В задаче высота измеряется по верхнему краю выпуклой поверхности (мениска), обозначим ее $h_{изм}$. Так как мениск – это полусфера радиусом $r$, его высота равна $r$. Следовательно, измеряемая высота связана с высотой у стенок соотношением: $h_{изм} = h_{конт} + r$.

Поправка $\Delta h$, которую необходимо ввести, это разница между идеальной (истинной) высотой и измеренной: $\Delta h = h_{ид} - h_{изм}$.

Подставим выражения для $h_{ид}$ и $h_{изм}$:

$\Delta h = (h_{конт} + h_{кап}) - (h_{конт} + r) = h_{кап} - r$

Таким образом, искомая поправка равна: $\Delta h = \frac{2\sigma_р}{\rho g r} - r$.

Подставим числовые значения:

$\Delta h = \frac{2 \cdot 0,465 \text{ Н/м}}{13600 \text{ кг/м}^3 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 1 \cdot 10^{-3} \text{ м}} - 1 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

$\Delta h = \frac{0,93}{133280} \text{ м} - 0,001 \text{ м} \approx 0,006978 \text{ м} - 0,001 \text{ м} = 0,005978 \text{ м}$

Переведем результат в миллиметры:

$\Delta h \approx 0,005978 \cdot 1000 \text{ мм} \approx 5,98 \text{ мм}$.

Округляя до двух значащих цифр, получаем $\Delta h \approx 6,0 \text{ мм}$. Эта поправка является положительной, то есть ее нужно прибавить к измеренному значению высоты, чтобы получить верное значение.

Ответ: необходимо ввести поправку около $6,0$ мм ртутного столба.