Номер 1, страница 412 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Параграф 73. Доказательство потенциальности электростатического поля. Потенциал поля точечного заряда. Глава 10. Электростатика. Электродинамика - номер 1, страница 412.

Условие.

1. Точечный заряд $q$ расположен на оси тонкой равномерно заряженной палочки на расстоянии $a$ от её ближайшего конца. Длина палочки равна $l$, а её заряд равен $Q$. Определите электростатическую силу $\vec{F}$, действующую на заряд $q$ со стороны палочки. (Подсказка: разделите палочку на достаточно малые участки и воспользуйтесь приёмом, который был применён при выводе формулы для расчёта потенциала точечного заряда.)

Решение.

Дано:

Точечный заряд: $q$

Заряд палочки: $Q$

Длина палочки: $l$

Расстояние от заряда $q$ до ближайшего конца палочки: $a$

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

Электростатическую силу $\vec{F}$

Решение:

Поскольку палочка является протяженным телом, а не точечным зарядом, мы не можем напрямую применить закон Кулона для всей палочки. Для нахождения силы необходимо использовать метод интегрирования, разбив палочку на бесконечно малые участки.

Введем систему координат. Расположим точечный заряд $q$ в начале координат ($x=0$). Ось $Ox$ направим вдоль оси палочки. Тогда ближайший к заряду конец палочки будет находиться в точке с координатой $x=a$, а дальний — в точке с координатой $x=a+l$.

Палочка заряжена равномерно, поэтому ее линейная плотность заряда $\lambda$ (заряд на единицу длины) постоянна и равна:

$\lambda = \frac{Q}{l}$

Рассмотрим малый элемент палочки длиной $dx$, находящийся на расстоянии $x$ от заряда $q$. Заряд этого элемента $dQ$ можно считать точечным, и он равен:

$dQ = \lambda dx = \frac{Q}{l} dx$

Согласно закону Кулона, этот элементарный заряд $dQ$ действует на заряд $q$ с элементарной силой $d\vec{F}$. Так как все элементы палочки и заряд $q$ лежат на одной прямой, все элементарные силы будут направлены вдоль этой прямой. Найдем модуль этой силы:

$dF = k \frac{|q \cdot dQ|}{x^2} = k \frac{|q| \cdot |\frac{Q}{l} dx|}{x^2} = k \frac{|qQ|}{l} \frac{dx}{x^2}$

где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ — коэффициент в законе Кулона.

Чтобы найти модуль полной силы $F$, действующей на заряд $q$ со стороны всей палочки, необходимо просуммировать (проинтегрировать) модули сил от всех элементарных участков палочки. Интегрирование проводится по всей длине палочки, то есть в пределах от $x=a$ до $x=a+l$.

$F = \int_{a}^{a+l} dF = \int_{a}^{a+l} k \frac{|qQ|}{l} \frac{dx}{x^2}$

Вынесем постоянные множители за знак интеграла:

$F = k \frac{|qQ|}{l} \int_{a}^{a+l} \frac{dx}{x^2}$

Первообразная для функции $\frac{1}{x^2}$ равна $-\frac{1}{x}$. Вычислим определенный интеграл:

$\int_{a}^{a+l} \frac{dx}{x^2} = \left[-\frac{1}{x}\right]_{a}^{a+l} = \left(-\frac{1}{a+l}\right) - \left(-\frac{1}{a}\right) = \frac{1}{a} - \frac{1}{a+l}$

Приводя к общему знаменателю, получаем:

$\frac{1}{a} - \frac{1}{a+l} = \frac{(a+l) - a}{a(a+l)} = \frac{l}{a(a+l)}$

Теперь подставим результат интегрирования обратно в выражение для силы $F$:

$F = k \frac{|qQ|}{l} \cdot \frac{l}{a(a+l)}$

Сокращая на $l$, получаем окончательное выражение для модуля силы:

$F = k \frac{|qQ|}{a(a+l)}$

Направление силы $\vec{F}$ лежит на прямой, соединяющей заряд и палочку. Если заряды $q$ и $Q$ имеют одинаковые знаки (оба положительные или оба отрицательные), то сила является силой отталкивания (направлена от палочки). Если знаки зарядов разные, то сила является силой притяжения (направлена к палочке).

Ответ: Модуль электростатической силы, действующей на заряд $q$ со стороны палочки, равен $F = k \frac{|qQ|}{a(a+l)}$, что эквивалентно $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{|qQ|}{a(a+l)}$. Сила направлена вдоль оси палочки: от палочки, если знаки зарядов $q$ и $Q$ одинаковы (отталкивание), и к палочке, если знаки разные (притяжение).