Номер 3, страница 412 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Электродинамика. Глава 10. Электростатика. Параграф 73. Доказательство потенциальности электростатического поля. Потенциал поля точечного заряда - номер 3, страница 412.

Условие.

*3. Выведите выражение для расчёта потенциала гравитационного поля, создаваемого материальной точкой массой $m$. Считайте, что значение потенциала бесконечно удалённой точки равно нулю.

Решение.

*3

Решение:

По определению, потенциал $\phi$ гравитационного поля в некоторой точке пространства — это скалярная величина, равная отношению потенциальной энергии $W_p$ пробного тела массой $m_0$, помещённого в эту точку, к его массе:

$\phi = \frac{W_p}{m_0}$

Потенциальная энергия $W_p$ тела в точке поля, находящейся на расстоянии $r$ от источника поля (массы $m$), равна работе $A$, которую совершает гравитационное поле при перемещении пробного тела массой $m_0$ из данной точки в бесконечно удалённую точку, где потенциальная энергия по условию принята равной нулю.

$W_p(r) = A_{r \to \infty}$

Работа, совершаемая переменной силой, вычисляется как интеграл. Сила гравитационного притяжения $\vec{F}_g$, действующая на пробную массу $m_0$ со стороны массы $m$ на расстоянии $x$, согласно закону всемирного тяготения, равна:

$\vec{F}_g = -G \frac{m m_0}{x^2} \hat{x}$

Здесь $G$ — гравитационная постоянная, а $\hat{x}$ — единичный вектор, направленный от массы $m$. Знак "минус" указывает, что сила является силой притяжения и направлена противоположно вектору $\hat{x}$.

Работа этой силы при перемещении пробной массы $m_0$ из точки на расстоянии $r$ в бесконечность ($\infty$) вдоль радиального направления ($d\vec{x} = dx \cdot \hat{x}$) равна:

$A_{r \to \infty} = \int_{r}^{\infty} \vec{F}_g \cdot d\vec{x} = \int_{r}^{\infty} \left(-G \frac{m m_0}{x^2} \hat{x}\right) \cdot (dx \cdot \hat{x}) = \int_{r}^{\infty} -G \frac{m m_0}{x^2} dx$

Вычислим этот интеграл:

$A_{r \to \infty} = -G m m_0 \int_{r}^{\infty} \frac{dx}{x^2} = -G m m_0 \left[ -\frac{1}{x} \right]_{r}^{\infty} = -G m m_0 \left( \lim_{x\to\infty}\left(-\frac{1}{x}\right) - \left(-\frac{1}{r}\right) \right)$

$A_{r \to \infty} = -G m m_0 \left( 0 + \frac{1}{r} \right) = -G \frac{m m_0}{r}$

Таким образом, потенциальная энергия пробной массы $m_0$ на расстоянии $r$ от массы $m$ равна:

$W_p(r) = -G \frac{m m_0}{r}$

Теперь найдем потенциал, разделив потенциальную энергию на пробную массу $m_0$:

$\phi(r) = \frac{W_p(r)}{m_0} = \frac{-G \frac{m m_0}{r}}{m_0} = -G \frac{m}{r}$

Это и есть искомое выражение для потенциала гравитационного поля, создаваемого материальной точкой массой $m$.

Ответ: $\phi = -G \frac{m}{r}$