Номер 2, страница 412 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Электродинамика. Глава 10. Электростатика. Параграф 73. Доказательство потенциальности электростатического поля. Потенциал поля точечного заряда - номер 2, страница 412.

Условие.

2. Определите потенциал точки $A$, находящейся в середине отрезка, на концах которого закреплены точечные заряды $q_1 = 5\text{ мкКл}$ и $q_2 = 15\text{ мкКл}$, если длина отрезка $L = 20\text{ см}$. Определите модуль максимальной скорости, которую сможет приобрести под действием сил отталкивания со стороны этих зарядов заряд $q_3 = 1\text{ мкКл}$, начавший движение из точки $A$ и имеющий массу $m = 1\text{ г}$.

Решение.

Дано:
$q_1 = 5 \text{ мкКл}$
$q_2 = 15 \text{ мкКл}$
$L = 20 \text{ см}$
$q_3 = 1 \text{ мкКл}$
$m = 1 \text{ г}$
Точка А — середина отрезка, на концах которого находятся заряды $q_1$ и $q_2$.

$q_1 = 5 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$
$q_2 = 15 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$
$L = 0.2 \text{ м}$
$q_3 = 1 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$
$m = 1 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$

Найти:
$φ_A$ — ?
$v_{max}$ — ?

Решение:

Определите потенциал точки А

Потенциал электростатического поля в точке А создается двумя зарядами, $q_1$ и $q_2$. Согласно принципу суперпозиции полей, потенциал в точке А равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым зарядом в отдельности:
$φ_A = φ_1 + φ_2$
Потенциал, создаваемый точечным зарядом $q$ на расстоянии $r$ от него, определяется формулой:
$φ = k \frac{q}{r}$
где $k \approx 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$ — коэффициент пропорциональности в законе Кулона.
Точка А находится в середине отрезка L, поэтому расстояние от каждого из зарядов $q_1$ и $q_2$ до точки А одинаково и равно:
$r = \frac{L}{2} = \frac{0.2 \text{ м}}{2} = 0.1 \text{ м}$
Тогда итоговый потенциал в точке А:
$φ_A = k \frac{q_1}{r} + k \frac{q_2}{r} = \frac{k}{r}(q_1 + q_2)$
Подставим числовые значения:
$φ_A = \frac{9 \cdot 10^9}{0.1}(5 \cdot 10^{-6} + 15 \cdot 10^{-6}) = 9 \cdot 10^{10} \cdot (20 \cdot 10^{-6}) = 180 \cdot 10^4 \text{ В} = 1.8 \cdot 10^6 \text{ В}$

Ответ: Потенциал точки А равен $1.8 \cdot 10^6 \text{ В}$ (1.8 МВ).

Определите модуль максимальной скорости

Заряд $q_3$ начинает движение из точки А из состояния покоя. Поскольку все три заряда положительны, на заряд $q_3$ будут действовать силы отталкивания, и он начнет ускоряться, удаляясь от зарядов $q_1$ и $q_2$. Максимальная скорость будет достигнута на бесконечно большом удалении, где потенциальная энергия взаимодействия обратится в ноль. Для решения задачи применим закон сохранения энергии, так как электростатическое поле является консервативным (потенциальным).
Полная энергия заряда $q_3$ в начальный момент времени (в точке А) равна сумме его кинетической ($K_A$) и потенциальной ($U_A$) энергий:
$E_A = K_A + U_A$
Поскольку заряд начинает движение из состояния покоя, его начальная кинетическая энергия $K_A = 0$. Потенциальная энергия заряда в электростатическом поле равна $U_A = q_3 \cdot φ_A$.
Полная энергия заряда на бесконечности ($E_{\infty}$) равна сумме его конечной кинетической ($K_{\infty}$) и потенциальной ($U_{\infty}$) энергий:
$E_{\infty} = K_{\infty} + U_{\infty}$
На бесконечности потенциал поля равен нулю ($φ_{\infty}=0$), следовательно, и потенциальная энергия $U_{\infty} = 0$. Кинетическая энергия в этот момент будет максимальной: $K_{\infty} = \frac{m v_{max}^2}{2}$.
Согласно закону сохранения энергии $E_A = E_{\infty}$:
$0 + q_3 \cdot φ_A = \frac{m v_{max}^2}{2} + 0$
Из этого уравнения выразим максимальную скорость $v_{max}$:
$v_{max} = \sqrt{\frac{2 q_3 φ_A}{m}}$
Подставим числовые значения, используя ранее найденное значение потенциала $φ_A$:
$v_{max} = \sqrt{\frac{2 \cdot (1 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}) \cdot (1.8 \cdot 10^6 \text{ В})}{1 \cdot 10^{-3} \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{3.6}{10^{-3}}} = \sqrt{3600} = 60 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: Модуль максимальной скорости, которую сможет приобрести заряд $q_3$, равен $60 \frac{\text{м}}{\text{с}}$.