Номер 9, страница 429 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Вопросы. Параграф 76. Конденсаторы. Емкость плоского конденсатора. Энергия электрического поля. Глава 10. Электростатика. Электродинамика - номер 9, страница 429.

Условие.

9. Что называют средней объёмной плотностью энергии электрического поля? По какой формуле её можно вычислить?

Решение.

Средней объёмной плотностью энергии электрического поля называют физическую величину, равную усреднённой за период колебаний энергии переменного электрического поля, приходящейся на единицу объёма. Иными словами, это среднее по времени значение энергии, запасённой в единице объёма пространства, где существует электрическое поле.

Мгновенное значение объёмной плотности энергии электрического поля $w_E$ в среде с диэлектрической проницаемостью $\epsilon$ определяется формулой:
$w_E = \frac{\epsilon_0 \epsilon E^2}{2}$
где $E$ — мгновенное значение напряжённости электрического поля, $\epsilon_0$ — электрическая постоянная ($ \approx 8.85 \cdot 10^{-12} $ Ф/м).

Для переменного электрического поля, в котором напряжённость изменяется по гармоническому закону (например, в электромагнитной волне $E = E_m \cos(\omega t)$), мгновенная плотность энергии также является периодической функцией времени: $w_E(t) = \frac{\epsilon_0 \epsilon E_m^2}{2} \cos^2(\omega t)$.

Средняя объёмная плотность энергии $\langle w_E \rangle$ вычисляется путём усреднения мгновенного значения за один период колебаний. Учитывая, что среднее значение функции $\cos^2(\omega t)$ (или $\sin^2(\omega t)$) за период равно $1/2$, формула для расчёта средней объёмной плотности энергии электрического поля принимает вид:
$\langle w_E \rangle = \frac{\epsilon_0 \epsilon E_m^2}{4}$
где $E_m$ — амплитудное значение напряжённости электрического поля.

Также эту величину можно выразить через действующее (среднеквадратичное) значение напряжённости $E_{действ} = \frac{E_m}{\sqrt{2}}$:
$\langle w_E \rangle = \frac{\epsilon_0 \epsilon E_{действ}^2}{2}$
Эта формула по форме совпадает с выражением для плотности энергии постоянного электрического поля, но вместо постоянного значения напряженности в ней используется его действующее значение.

Ответ: Средняя объёмная плотность энергии электрического поля — это усреднённая по времени за период колебаний энергия электрического поля в единице объёма. Её можно вычислить по формуле $\langle w_E \rangle = \frac{\epsilon_0 \epsilon E_m^2}{4}$ или, что эквивалентно, $\langle w_E \rangle = \frac{\epsilon_0 \epsilon E_{действ}^2}{2}$, где $E_m$ и $E_{действ}$ — амплитудное и действующее значения напряжённости электрического поля, $\epsilon_0$ — электрическая постоянная, а $\epsilon$ — диэлектрическая проницаемость среды.