Номер 8, страница 148 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Громцева

11.9. Заряженные частицы в магнитном и электрическом поле. 11. Электромагнетизм - номер 8, страница 148.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Масса первого иона: $m_1$

Масса второго иона: $m_2$

Заряд первого иона: $q_1$

Заряд второго иона: $q_2$

Ускоряющая разность потенциалов: $U$

Индукция магнитного поля: $B$

Радиус дуги первого иона: $R_1$

Условие равенства зарядов: $q_1 = q_2 = q$

Найти:

Радиус дуги второго иона: $R_2$

Решение:

Когда ион проходит ускоряющую разность потенциалов $U$, электрическое поле совершает над ним работу $A = qU$. По теореме о кинетической энергии, эта работа идет на увеличение кинетической энергии иона. Если начальная скорость иона равна нулю, то его кинетическая энергия после ускорения равна:

$K = \frac{mv^2}{2} = qU$

Отсюда можно выразить скорость иона $v$ после ускорения:

$v = \sqrt{\frac{2qU}{m}}$

Запишем это выражение для каждого из ионов:

Скорость первого иона: $v_1 = \sqrt{\frac{2qU}{m_1}}$

Скорость второго иона: $v_2 = \sqrt{\frac{2qU}{m_2}}$

Когда ион влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции, на него начинает действовать сила Лоренца $F_L = qvB$. Эта сила перпендикулярна скорости и сообщает иону центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона:

$F_L = ma_c$

$qvB = \frac{mv^2}{R}$

Из этого уравнения можно выразить радиус траектории иона в магнитном поле:

$R = \frac{mv}{qB}$

Запишем это выражение для каждого из ионов:

Для первого иона: $R_1 = \frac{m_1v_1}{qB}$

Для второго иона: $R_2 = \frac{m_2v_2}{qB}$

Теперь подставим в формулы для радиусов выражения для скоростей:

$R_1 = \frac{m_1}{qB} \sqrt{\frac{2qU}{m_1}} = \frac{1}{qB} \sqrt{\frac{m_1^2 \cdot 2qU}{m_1}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2m_1U}{q}}$

$R_2 = \frac{m_2}{qB} \sqrt{\frac{2qU}{m_2}} = \frac{1}{qB} \sqrt{\frac{m_2^2 \cdot 2qU}{m_2}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2m_2U}{q}}$

Чтобы найти $R_2$, разделим второе выражение на первое:

$\frac{R_2}{R_1} = \frac{\frac{1}{B} \sqrt{\frac{2m_2U}{q}}}{\frac{1}{B} \sqrt{\frac{2m_1U}{q}}} = \sqrt{\frac{2m_2U/q}{2m_1U/q}} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$

Отсюда выразим искомый радиус $R_2$:

$R_2 = R_1 \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$

Ответ: $R_2 = R_1 \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$