Номер 1, страница 148 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Громцева

11. Электромагнетизм. 11.9. Заряженные частицы в магнитном и электрическом поле - номер 1, страница 148.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Напряженность электрического поля: $\vec{E}$

Магнитная индукция: $\vec{B}$

Скорость частицы: $\vec{v} = \text{const}$

Взаимная ориентация полей: $\vec{E} \perp \vec{B}$

Найти:

Скорость частицы $\vec{v}$.

Решение:

На заряженную частицу с зарядом $q$, движущуюся в электрическом и магнитном полях, действует сила Лоренца $\vec{F}$, которая является векторной суммой электрической силы $\vec{F}_E$ и магнитной силы $\vec{F}_B$: $$ \vec{F} = \vec{F}_E + \vec{F}_B = q\vec{E} + q(\vec{v} \times \vec{B}) $$

Согласно условию задачи, частица движется с постоянной скоростью $\vec{v}$. Это означает, что ее ускорение $\vec{a}$ равно нулю. По второму закону Ньютона, $\vec{F} = m\vec{a}$, следовательно, равнодействующая всех сил, действующих на частицу, также равна нулю: $$ \vec{F} = 0 $$

Приравнивая выражение для силы Лоренца к нулю, получаем: $$ q\vec{E} + q(\vec{v} \times \vec{B}) = 0 $$

Предполагая, что заряд частицы $q \neq 0$, можно разделить обе части уравнения на $q$: $$ \vec{E} + (\vec{v} \times \vec{B}) = 0 $$

Это уравнение показывает, что электрическая сила $\vec{F}_E = q\vec{E}$ и магнитная сила $\vec{F}_B = q(\vec{v} \times \vec{B})$ равны по модулю и противоположны по направлению: $$ \vec{E} = -(\vec{v} \times \vec{B}) $$

Из свойств векторного произведения следует, что вектор $(\vec{v} \times \vec{B})$ перпендикулярен как вектору скорости $\vec{v}$, так и вектору магнитной индукции $\vec{B}$. Так как вектор $\vec{E}$ коллинеарен вектору $-(\vec{v} \times \vec{B})$, то он также перпендикулярен векторам $\vec{v}$ и $\vec{B}$. Таким образом, для выполнения условия постоянства скорости все три вектора — $\vec{E}$, $\vec{B}$ и $\vec{v}$ — должны быть взаимно перпендикулярны.

Перейдем к модулям векторов в полученном равенстве. Обозначим модули векторов $E = |\vec{E}|$, $B = |\vec{B}|$ и $v = |\vec{v}|$. $$ E = |-(\vec{v} \times \vec{B})| = |\vec{v} \times \vec{B}| $$

Поскольку векторы $\vec{v}$ и $\vec{B}$ перпендикулярны, угол между ними равен $90^\circ$, и модуль их векторного произведения равен: $$ |\vec{v} \times \vec{B}| = v \cdot B \cdot \sin(90^\circ) = vB $$

Приравнивая модули, получаем: $$ E = vB $$

Отсюда можно выразить модуль скорости частицы: $$ v = \frac{E}{B} $$

Направление вектора скорости $\vec{v}$ перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы $\vec{E}$ и $\vec{B}$. Векторно скорость можно выразить как $\vec{v} = \frac{\vec{E} \times \vec{B}}{B^2}$.

Ответ: Модуль скорости частицы равен отношению модуля напряженности электрического поля к модулю магнитной индукции, $v = \frac{E}{B}$. Направление скорости перпендикулярно векторам напряженности электрического поля и индукции магнитного поля.