Номер 13, страница 147 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Громцева

11.8. Движение заряженных частиц в магнитном поле. 11. Электромагнетизм - номер 13, страница 147.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Электрон движется в однородном магнитном поле перпендикулярно вектору индукции.

Начальная кинетическая энергия: $E_{k1}$

Конечная кинетическая энергия: $E_{k2} = \frac{E_{k1}}{4}$

Масса электрона: $m$

Модуль заряда электрона: $e$

Индукция магнитного поля: $B$

Найти:

Как изменится радиус траектории $R$? (Найти отношение $\frac{R_1}{R_2}$)

Решение:

На электрон, движущийся в магнитном поле, действует сила Лоренца. Так как электрон движется перпендикулярно вектору магнитной индукции, эта сила сообщает ему центростремительное ускорение, и он движется по окружности. Величина силы Лоренца в данном случае равна:

$F_Л = evB$

где $e$ — модуль заряда электрона, $v$ — его скорость, $B$ — индукция магнитного поля.

Эта сила является центростремительной силой, которая определяется по второму закону Ньютона:

$F_{цс} = ma_ц = \frac{mv^2}{R}$

где $m$ — масса электрона, а $R$ — радиус траектории.

Приравняем выражения для силы Лоренца и центростремительной силы:

$evB = \frac{mv^2}{R}$

Выразим из этого уравнения радиус траектории $R$:

$R = \frac{mv}{eB}$

Теперь необходимо связать радиус траектории с кинетической энергией электрона $E_k$. Кинетическая энергия определяется формулой:

$E_k = \frac{mv^2}{2}$

Из этой формулы выразим скорость $v$:

$v^2 = \frac{2E_k}{m} \implies v = \sqrt{\frac{2E_k}{m}}$

Подставим полученное выражение для скорости в формулу для радиуса:

$R = \frac{m}{eB} \sqrt{\frac{2E_k}{m}} = \frac{1}{eB} \sqrt{\frac{m^2 \cdot 2E_k}{m}} = \frac{\sqrt{2mE_k}}{eB}$

Из полученной зависимости $R = \frac{\sqrt{2mE_k}}{eB}$ видно, что радиус траектории прямо пропорционален квадратному корню из кинетической энергии ($R \sim \sqrt{E_k}$).

Пусть $R_1$ — начальный радиус, соответствующий энергии $E_{k1}$, а $R_2$ — конечный радиус, соответствующий энергии $E_{k2}$. По условию, $E_{k2} = \frac{E_{k1}}{4}$.

Найдем отношение радиусов:

$\frac{R_2}{R_1} = \frac{\frac{\sqrt{2mE_{k2}}}{eB}}{\frac{\sqrt{2mE_{k1}}}{eB}} = \sqrt{\frac{E_{k2}}{E_{k1}}}$

Подставим соотношение энергий:

$\frac{R_2}{R_1} = \sqrt{\frac{E_{k1}/4}{E_{k1}}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$

Таким образом, $R_2 = \frac{1}{2}R_1$. Это означает, что радиус траектории уменьшился в 2 раза.

Ответ: радиус траектории электрона уменьшится в 2 раза.