Номер 4, страница 148 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Громцева

11.9. Заряженные частицы в магнитном и электрическом поле. 11. Электромагнетизм - номер 4, страница 148.

Решение.

Решение 2.

Дано:

$B = 0,01$ Тл

$R = 10$ см $= 0,1$ м

$\frac{q}{m} = 10^8$ Кл/кг

Найти:

$\Delta\varphi$

Решение:

Протон, двигаясь в магнитном поле, испытывает действие силы Лоренца, которая перпендикулярна вектору скорости. Эта сила сообщает протону центростремительное ускорение, заставляя его двигаться по дуге окружности. Предполагается, что вектор скорости протона перпендикулярен вектору магнитной индукции.

Согласно второму закону Ньютона, сила Лоренца равна центростремительной силе:

$F_Л = F_ц$

$qvB = \frac{mv^2}{R}$

где $q$ — заряд протона, $v$ — его скорость, $B$ — индукция магнитного поля, $m$ — масса протона, а $R$ — радиус траектории.

Из этого соотношения мы можем выразить скорость протона $v$:

$v = \frac{qBR}{m} = \left(\frac{q}{m}\right)BR$

После вылета из магнитного поля протон попадает в тормозящее электрическое поле. По теореме о кинетической энергии, работа $A$, совершаемая электрическим полем, равна изменению кинетической энергии протона $\Delta E_k$.

$A = \Delta E_k = E_{k2} - E_{k1}$

Работа электрического поля при перемещении заряда $q$ через разность потенциалов $\Delta\varphi$ равна $A = q\Delta\varphi$. Поскольку поле тормозящее, оно совершает отрицательную работу, а изменение кинетической энергии также отрицательно.

$A = -q\Delta\varphi$

Так как протон полностью тормозится, его конечная кинетическая энергия $E_{k2} = 0$. Начальная кинетическая энергия $E_{k1} = \frac{mv^2}{2}$.

$-q\Delta\varphi = 0 - \frac{mv^2}{2}$

Следовательно, тормозящая разность потенциалов $\Delta\varphi$ может быть найдена из уравнения:

$q\Delta\varphi = \frac{mv^2}{2}$

$\Delta\varphi = \frac{mv^2}{2q}$

Теперь подставим выражение для скорости $v$ в формулу для разности потенциалов:

$\Delta\varphi = \frac{m}{2q} \left( \left(\frac{q}{m}\right)BR \right)^2 = \frac{m}{2q} \frac{q^2}{m^2} (BR)^2 = \frac{q(BR)^2}{2m}$

Это выражение можно переписать через отношение заряда к массе $\frac{q}{m}$:

$\Delta\varphi = \frac{1}{2}\left(\frac{q}{m}\right)(BR)^2$

Подставим известные числовые значения в систему СИ:

$\Delta\varphi = \frac{1}{2} \cdot 10^8 \, \frac{\text{Кл}}{\text{кг}} \cdot (0,01 \, \text{Тл} \cdot 0,1 \, \text{м})^2$

$\Delta\varphi = 0,5 \cdot 10^8 \cdot (10^{-2} \cdot 10^{-1})^2 = 0,5 \cdot 10^8 \cdot (10^{-3})^2$

$\Delta\varphi = 0,5 \cdot 10^8 \cdot 10^{-6} = 0,5 \cdot 10^2 = 50 \, \text{В}$

Ответ: тормозящая разность потенциалов равна $50$ В.