Номер 14, страница 147 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Громцева

11. Электромагнетизм. 11.8. Движение заряженных частиц в магнитном поле - номер 14, страница 147.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Начальный радиус траектории: $R_1 = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Конечный радиус траектории: $R_2 = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Отношение начальной кинетической энергии к конечной: $\frac{E_{k1}}{E_{k2}}$

Решение:

На заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле перпендикулярно линиям индукции, действует сила Лоренца, которая играет роль центростремительной силы. Это заставляет частицу двигаться по дуге окружности.

Сила Лоренца $F_Л$ и центростремительная сила $F_{цс}$ равны по величине:

$F_Л = F_{цс}$

Величина силы Лоренца определяется формулой $F_Л = qvB$, а центростремительная сила — $F_{цс} = \frac{mv^2}{R}$. Здесь $q$ — заряд частицы, $v$ — её скорость, $B$ — индукция магнитного поля, $m$ — масса частицы, $R$ — радиус кривизны траектории.

Приравнивая выражения для сил, получаем: $qvB = \frac{mv^2}{R}$

Из этого уравнения можно выразить импульс частицы $p = mv$: $p = mv = qBR$

Кинетическая энергия частицы $E_k$ связана с её импульсом $p$ и массой $m$ следующим соотношением: $E_k = \frac{p^2}{2m}$

Подставим в эту формулу выражение для импульса частицы в магнитном поле: $E_k = \frac{(qBR)^2}{2m} = \frac{q^2 B^2 R^2}{2m}$

Поскольку заряд $q$ и масса $m$ частицы, а также индукция магнитного поля $B$ остаются постоянными, кинетическая энергия частицы прямо пропорциональна квадрату радиуса её траектории: $E_k \propto R^2$.

При прохождении через свинцовую пластину частица теряет энергию, её скорость уменьшается, что приводит к уменьшению радиуса траектории. Найдём, во сколько раз уменьшилась кинетическая энергия, вычислив отношение начальной энергии $E_{k1}$ к конечной $E_{k2}$: $\frac{E_{k1}}{E_{k2}} = \frac{\frac{q^2 B^2 R_1^2}{2m}}{\frac{q^2 B^2 R_2^2}{2m}} = \frac{R_1^2}{R_2^2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2$

Подставим числовые значения радиусов из условия задачи: $\frac{E_{k1}}{E_{k2}} = \left(\frac{2 \text{ см}}{1 \text{ см}}\right)^2 = 2^2 = 4$

Ответ: кинетическая энергия частицы уменьшилась в 4 раза.