Номер 7, страница 148 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Громцева

11.9. Заряженные частицы в магнитном и электрическом поле. 11. Электромагнетизм - номер 7, страница 148.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Индукция магнитного поля, $B = 2 \text{ мТл}$

Радиус траектории в магнитном поле, $R = 40 \text{ см}$

Разность потенциалов, $U = 500 \text{ В}$

Отношение начальной и конечной скоростей, $\frac{v_1}{v_2} = 4$

$B = 2 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}$

$R = 0,4 \text{ м}$

$U = 500 \text{ В}$

Найти:

Конечную скорость частицы, $v_2$.

Решение:

Движение частицы можно разделить на два этапа.

1. Движение в однородном магнитном поле. На заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, действует сила Лоренца. Поскольку частица движется по дуге окружности, ее скорость перпендикулярна вектору магнитной индукции. Сила Лоренца выступает в роли центростремительной силы.

Сила Лоренца: $F_L = |q|v_1B$, где $|q|$ — модуль заряда частицы, $v_1$ — ее скорость.

Центростремительная сила: $F_c = \frac{mv_1^2}{R}$, где $m$ — масса частицы.

Приравняем эти две силы: $|q|v_1B = \frac{mv_1^2}{R}$.

Из этого равенства выразим удельный заряд частицы $\frac{|q|}{m}$:

$\frac{|q|}{m} = \frac{v_1}{BR}$ (1)

2. Движение в однородном электрическом поле. Когда частица проходит участок с разностью потенциалов $U$, электрическое поле совершает над ней работу $A$, которая равна изменению ее кинетической энергии (согласно теореме о кинетической энергии).

$A = \Delta K = K_2 - K_1 = \frac{mv_2^2}{2} - \frac{mv_1^2}{2}$

Работа электрического поля определяется как $A = qU$. В задаче указано, что частица заряжена отрицательно ($q = -|q|$) и ее скорость уменьшается, следовательно, кинетическая энергия уменьшается ($\Delta K < 0$), и работа поля отрицательна. Это означает, что частица движется против силы электрического поля, то есть в сторону увеличения потенциала.

$-|q|U = \frac{mv_2^2}{2} - \frac{mv_1^2}{2}$

Умножим обе части на -1, чтобы работать с положительными величинами:

$|q|U = \frac{mv_1^2}{2} - \frac{mv_2^2}{2} = \frac{m(v_1^2 - v_2^2)}{2}$

Из этого уравнения также выразим удельный заряд частицы:

$\frac{|q|}{m} = \frac{v_1^2 - v_2^2}{2U}$ (2)

Теперь мы можем приравнять правые части уравнений (1) и (2), так как они оба равны удельному заряду частицы:

$\frac{v_1}{BR} = \frac{v_1^2 - v_2^2}{2U}$

По условию задачи, начальная скорость в 4 раза больше конечной: $v_1 = 4v_2$. Подставим это соотношение в уравнение:

$\frac{4v_2}{BR} = \frac{(4v_2)^2 - v_2^2}{2U}$

$\frac{4v_2}{BR} = \frac{16v_2^2 - v_2^2}{2U}$

$\frac{4v_2}{BR} = \frac{15v_2^2}{2U}$

Так как конечная скорость $v_2$ не равна нулю, мы можем сократить обе части на $v_2$:

$\frac{4}{BR} = \frac{15v_2}{2U}$

Отсюда выражаем искомую конечную скорость $v_2$:

$v_2 = \frac{4 \cdot 2U}{15BR} = \frac{8U}{15BR}$

Подставим числовые значения из условия, переведенные в систему СИ:

$v_2 = \frac{8 \cdot 500}{15 \cdot 2 \cdot 10^{-3} \cdot 0,4} = \frac{4000}{30 \cdot 10^{-3} \cdot 0,4} = \frac{4000}{12 \cdot 10^{-3}} = \frac{1000}{3} \cdot 10^3 \approx 333333,3 \text{ м/с}$

Запишем ответ в стандартном виде, округлив до трех значащих цифр:

$v_2 \approx 3,33 \cdot 10^5 \text{ м/с}$.

Ответ: конечная скорость частицы составляет приблизительно $3,33 \cdot 10^5$ м/с.