Номер 11, страница 175 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Громцева

13. Оптика. 13.8. Изображения светящихся точек и предметов в рассеивающей линзе - номер 9, страница 174.

Решение.

Решение 2.

Для построения изображения светящейся точки `S` в системе из двух рассеивающих линз необходимо выполнить построение последовательно. Сначала строится изображение `S'`, которое дает первая линза `L₁`. Затем это изображение `S'` используется в качестве предмета для второй линзы `L₂` для построения конечного изображения `S''`.

На рисунке видно, что расстояние от источника `S` до первой линзы `O₁` равно двум фокусным расстояниям. Расстояние между линзами `O₁O₂` равно четырем фокусным расстояниям. Фокусные расстояния обеих линз одинаковы. Обозначим фокусное расстояние как `F`.

Дано

Система из двух рассеивающих линз `L₁` и `L₂`.

Расстояние от предмета до первой линзы: $d_1 = 2F$

Расстояние между линзами: $l = 4F$

Фокусное расстояние первой линзы: $-F$ (знак "минус", так как линза рассеивающая)

Фокусное расстояние второй линзы: $-F$

Найти:

Положение конечного изображения `S''`.

Решение

1. Построение изображения `S'` от первой линзы `L₁`.

Для построения изображения точки `S` в первой рассеивающей линзе используем два характерных луча:

• Луч 1: луч, идущий от точки `S` параллельно главной оптической оси. После преломления в линзе `L₁` он будет распространяться так, как будто вышел из переднего (мнимого) фокуса `F₁`.
• Луч 2: луч, проходящий от точки `S` через оптический центр `O₁` первой линзы. Этот луч не преломляется и продолжает свое движение по прямой.

Поскольку после преломления в линзе лучи расходятся, изображение будет мнимым. Оно находится на пересечении продолжений преломленных лучей (в данном случае, на пересечении продолжения первого луча и второго луча, который не преломился). Изображение `S'` будет находиться между фокусом `F₁` и линзой `L₁`.

Проверим положение `S'` с помощью формулы тонкой линзы: $ \frac{1}{d} + \frac{1}{f'} = \frac{1}{F_{lens}} $. Для рассеивающей линзы фокусное расстояние отрицательно, $F_{lens} = -F$. Расстояние до предмета $d_1 = 2F$.

$ \frac{1}{2F} + \frac{1}{f'_1} = \frac{1}{-F} $

$ \frac{1}{f'_1} = -\frac{1}{F} - \frac{1}{2F} = -\frac{3}{2F} $

$ f'_1 = -\frac{2F}{3} $

Знак "минус" подтверждает, что изображение `S'` мнимое и находится с той же стороны от линзы `L₁`, что и предмет `S`, на расстоянии $\frac{2}{3}F$ от оптического центра `O₁`.

2. Построение конечного изображения `S''` от второй линзы `L₂`.

Теперь мнимое изображение `S'` от первой линзы становится предметом для второй линзы `L₂`. Так как `S'` находится левее `L₂`, оно является для нее действительным предметом. Найдем расстояние `d₂` от `S'` до линзы `L₂`:

$ d_2 = l + |f'_1| = 4F + \frac{2F}{3} = \frac{14F}{3} $

Для построения изображения `S''` от линзы `L₂` снова используем два характерных луча, но теперь исходящих из точки `S'`:

• Луч 3: луч, идущий от `S'` параллельно главной оптической оси. После преломления в линзе `L₂` его продолжение пройдет через передний фокус `F₂`.
• Луч 4: луч, идущий от `S'` через оптический центр `O₂` второй линзы. Он не преломляется.

Пересечение продолжения преломленного луча 3 и луча 4 даст нам положение конечного мнимого изображения `S''`.

Рассчитаем положение `S''` по формуле тонкой линзы:

$ \frac{1}{d_2} + \frac{1}{f'_2} = \frac{1}{-F} $

$ \frac{1}{\frac{14F}{3}} + \frac{1}{f'_2} = -\frac{1}{F} $

$ \frac{3}{14F} + \frac{1}{f'_2} = -\frac{1}{F} $

$ \frac{1}{f'_2} = -\frac{1}{F} - \frac{3}{14F} = -\frac{14+3}{14F} = -\frac{17}{14F} $

$ f'_2 = -\frac{14F}{17} $

Конечное изображение `S''` является мнимым и расположено слева от линзы `L₂` на расстоянии $\frac{14}{17}F$, то есть между фокусом `F₂` и оптическим центром `O₂`.

Графическое построение:

На рисунке ниже показан ход лучей и построение изображений.

• Синим цветом показано построение промежуточного изображения `S'` от первой линзы.
• Красным цветом показано построение конечного изображения `S''` от второй линзы, где `S'` выступает в качестве объекта.
• Сплошные линии — действительный ход лучей, пунктирные — их мнимые продолжения или вспомогательные построения.

Примечание: для наглядности на схеме источник S находится на расстоянии $2F$ от линзы $L_1$, а расстояние между линзами $3F$. В условии задачи расстояние между линзами $4F$, но принцип построения и качественный результат (мнимое изображение между $F_2$ и $O_2$) остаются теми же. Расчеты в тексте соответствуют условию задачи.

Ответ: Конечное изображение `S''` является мнимым, прямым (относительно исходного предмета `S`), уменьшенным. Оно расположено между второй линзой `L₂` и ее передним фокусом `F₂` на расстоянии $\frac{14}{17}F$ от оптического центра `O₂`.

<--between_edition_2-->