Номер 10, страница 174 - гдз по физике 10-11 класс сборник задач Громцева

13.8. Изображения светящихся точек и предметов в рассеивающей линзе. 13. Оптика - номер 10, страница 174.

Решение.

Решение 2.

Для построения изображения светящейся точки в системе из двух линз необходимо выполнить построение последовательно. Сначала строится изображение точки в первой линзе, а затем это изображение используется как предмет для второй линзы.

Из схемы видно, что первая линза $L_1$ с оптическим центром в $O_1$ — рассеивающая. Вторая линза $L_2$ с оптическим центром в $O_2$ — собирающая. Штрихи на главной оптической оси обозначают фокусные точки линз. Светящаяся точка $S$ находится на расстоянии одного фокусного расстояния $f_1$ от первой линзы. Задний фокус первой линзы $F'_1$ совпадает с передним фокусом второй линзы $F_2$. Фокусные расстояния обеих линз одинаковы по модулю, $|f_1| = |f_2| = f$. Расстояние между линзами равно $L = 2f$.

1. Построение промежуточного изображения $S_1$ в рассеивающей линзе $L_1$

Предмет $S$ находится в передней фокальной плоскости рассеивающей линзы ($d_1 = f_1$). Для построения его изображения $S_1$ воспользуемся двумя характерными лучами:

• Луч 1 (синий): луч, идущий из точки $S$ параллельно главной оптической оси. После преломления в рассеивающей линзе он пойдет так, что его продолжение (показано синим пунктиром) пройдет через передний фокус $F_1$.
• Луч 2 (зеленый): луч, идущий из точки $S$ через оптический центр $O_1$. Этот луч не преломляется и продолжает свое движение по прямой.

Изображение $S_1$ является мнимым, так как оно образуется на пересечении продолжения преломленного луча 1 и луча 2. Из построения видно, что изображение $S_1$ прямое (расположено с той же стороны от оси, что и предмет $S$), уменьшенное и находится между предметом $S$ и линзой $L_1$.

С помощью формулы тонкой линзы для рассеивающей линзы ($F_1 < 0$) можно рассчитать положение изображения:

$\frac{1}{d_1} + \frac{1}{f'_1} = \frac{1}{F_1}$

где $d_1 = f$ — расстояние до предмета, $F_1 = -f$ — фокусное расстояние. Получаем:

$\frac{1}{f} + \frac{1}{f'_1} = -\frac{1}{f} \implies \frac{1}{f'_1} = -\frac{2}{f} \implies f'_1 = -\frac{f}{2}$

Знак минус означает, что изображение мнимое и находится на расстоянии $f/2$ от линзы $L_1$ с той же стороны, что и предмет. Увеличение $\Gamma_1 = |\frac{f'_1}{d_1}| = |\frac{-f/2}{f}| = \frac{1}{2}$.

2. Построение конечного изображения $S_2$ в собирающей линзе $L_2$

Мнимое изображение $S_1$, полученное от первой линзы, служит действительным предметом для второй, собирающей линзы $L_2$. Расстояние от $S_1$ до $L_2$ равно:

$d_2 = L + |f'_1| = 2f + \frac{f}{2} = 2.5f$

Для построения конечного изображения $S_2$ также используем два характерных луча, исходящих из точки $S_1$:

• Луч 3 (красный): луч, идущий из точки $S_1$ параллельно главной оптической оси. После преломления в собирающей линзе он пройдет через ее задний фокус $F'_2$.
• Луч 4 (оранжевый): луч, идущий из точки $S_1$ через оптический центр $O_2$. Этот луч не преломляется.

На пересечении этих двух лучей (3 и 4) получаем действительное изображение $S_2$. Из построения видно, что изображение $S_2$ перевернутое (расположено с противоположной стороны от оси относительно предмета $S$) и находится за задним фокусом $F'_2$ линзы $L_2$.

Рассчитаем положение изображения $S_2$ по формуле тонкой линзы для собирающей линзы ($F_2 > 0$):

$\frac{1}{d_2} + \frac{1}{f'_2} = \frac{1}{F_2}$

где $d_2 = 2.5f$, $F_2 = f$.

$\frac{1}{2.5f} + \frac{1}{f'_2} = \frac{1}{f} \implies \frac{1}{f'_2} = \frac{1}{f} - \frac{1}{2.5f} = \frac{2.5-1}{2.5f} = \frac{1.5}{2.5f} = \frac{3}{5f} \implies f'_2 = \frac{5f}{3} \approx 1.67f$

Изображение $S_2$ действительное и находится на расстоянии $1.67f$ от линзы $L_2$. Общее увеличение системы: $\Gamma = \Gamma_1 \cdot \Gamma_2 = (\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{f'_2}{d_2}) = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{5f/3}{2.5f}) = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{5/3}{5/2}) = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{2}{3}) = -\frac{1}{3}$.

Ниже представлено полное графическое построение.

Ответ:

Конечное изображение $S_2$ является действительным, перевернутым (относительно исходного предмета $S$) и уменьшенным (в 3 раза). Оно расположено справа от собирающей линзы на расстоянии $\frac{5}{3}f$ от ее оптического центра. Полное построение хода лучей представлено на рисунке выше.