Номер 7, страница 24 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Глава 1. Научный метод познания. Параграф 5. Измерение физических величин. Международная система единиц. Вопросы - номер 7, страница 24.

Условие.

7. Как рассчитывается максимальная абсолютная погрешность косвенных измерений?

Решение.

Косвенные измерения — это измерения, при которых искомое значение величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, подвергаемыми прямым измерениям. Результат косвенного измерения $\text{Y}$ является функцией $\text{f}$ от результатов прямых измерений $X_1, X_2, \ldots, X_n$: $Y = f(X_1, X_2, \ldots, X_n)$. Максимальная абсолютная погрешность косвенного измерения — это наибольшее возможное отклонение вычисленного значения от истинного, которое возникает из-за погрешностей прямых измерений.

Общий метод расчета (метод дифференцирования)

Для нахождения максимальной абсолютной погрешности косвенного измерения в общем случае используется метод, основанный на понятии полного дифференциала функции. Если величина $\text{Y}$ является функцией нескольких независимо измеряемых величин $X_1, X_2, \ldots, X_n$, и известны их максимальные абсолютные погрешности $\Delta X_1, \Delta X_2, \ldots, \Delta X_n$, то максимальная абсолютная погрешность $\Delta Y$ рассчитывается по формуле:

$\Delta Y = \sum_{i=1}^{n} \left| \frac{\partial f}{\partial X_i} \right| \Delta X_i = \left| \frac{\partial f}{\partial X_1} \right| \Delta X_1 + \left| \frac{\partial f}{\partial X_2} \right| \Delta X_2 + \ldots + \left| \frac{\partial f}{\partial X_n} \right| \Delta X_n$

Здесь $\frac{\partial f}{\partial X_i}$ — это частная производная функции $\text{f}$ по переменной $X_i$, вычисленная при средних значениях измеряемых величин. Этот метод предполагает, что погрешности малы, и учитывает вклад погрешности каждого прямого измерения в общую погрешность результата в наихудшем случае (когда все погрешности складываются).

Ответ: В общем случае максимальная абсолютная погрешность косвенного измерения вычисляется как сумма произведений модулей частных производных функции по каждой измеряемой величине на абсолютную погрешность этой величины.

Расчет погрешности для основных арифметических операций

Для простых функциональных зависимостей общая формула упрощается.

Сложение и вычитание

Если искомая величина является суммой или разностью измеренных величин $Y = X_1 \pm X_2 \pm \ldots \pm X_n$, то максимальная абсолютная погрешность равна сумме максимальных абсолютных погрешностей слагаемых. Это следует из общей формулы, так как все частные производные по модулю равны 1.

$\Delta Y = \Delta X_1 + \Delta X_2 + \ldots + \Delta X_n$

Ответ: При сложении и вычитании величин их максимальные абсолютные погрешности складываются.

Умножение и деление

Если искомая величина является произведением или частным измеренных величин, например $Y = \frac{X_1 \cdot X_2}{X_3}$, то удобнее сначала рассчитать максимальную относительную погрешность $\delta Y = \frac{\Delta Y}{|Y|}$. Она равна сумме максимальных относительных погрешностей сомножителей и делителей:

$\delta Y = \delta X_1 + \delta X_2 + \delta X_3 = \frac{\Delta X_1}{|X_1|} + \frac{\Delta X_2}{|X_2|} + \frac{\Delta X_3}{|X_3|}$

Затем максимальную абсолютную погрешность можно найти, умножив максимальную относительную погрешность на модуль среднего значения искомой величины:

$\Delta Y = |Y| \cdot \delta Y = |Y| \left( \frac{\Delta X_1}{|X_1|} + \frac{\Delta X_2}{|X_2|} + \frac{\Delta X_3}{|X_3|} \right)$

Ответ: При умножении и делении величин складываются их максимальные относительные погрешности, а затем из полученной суммарной относительной погрешности вычисляется абсолютная.

Возведение в степень

Если искомая величина определяется как $Y = C \cdot X^n$, где $\text{C}$ — точная константа, то ее максимальная относительная погрешность в $|n|$ раз больше относительной погрешности величины $\text{X}$:

$\delta Y = |n| \cdot \delta X = |n| \frac{\Delta X}{|X|}$

Соответственно, максимальная абсолютная погрешность равна:

$\Delta Y = |Y| \cdot |n| \frac{\Delta X}{|X|}$

Ответ: При возведении измеряемой величины в степень $\text{n}$ ее относительная погрешность умножается на модуль показателя степени $|n|$.