Номер 6, страница 26 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Глава 1. Научный метод познания. Параграф 5. Измерение физических величин. Международная система единиц. Задания и упражнения - номер 6, страница 26.

Условие.

* 6. Определите массу кубика из поролона с учётом максимальной абсолютной погрешности косвенного измерения, если длина ребра кубика $l_{\text{ИЗМ}} = 4,64 \text{ см}$, плотность поролона $\rho = 0,5 \text{ г/см}^3$.

Решение.

Дано:

$l_{изм} = 4,64$ см

$\rho = 0,5$ г/см³

Перевод в СИ:

$l_{изм} = 4,64 \cdot 10^{-2}$ м

$\rho = 0,5 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 0,5 \cdot \frac{10^{-3} \text{ кг}}{(10^{-2} \text{ м})^3} = 500 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Найти:

Массу кубика с учётом погрешности $m \pm \Delta m$.

Решение:

Масса тела $\text{m}$ определяется через его плотность $\rho$ и объем $\text{V}$ по формуле:

$m = \rho \cdot V$

Объем куба с длиной ребра $\text{l}$ вычисляется как:

$V = l^3$

Объединив эти две формулы, получаем расчетную формулу для массы кубика:

$m = \rho \cdot l^3$

1. Сначала вычислим среднее значение массы $m_{изм}$, используя измеренное значение длины ребра. Для удобства будем вести расчеты в системе единиц СГС (сантиметр, грамм, секунда), так как исходные данные представлены в этих единицах.

$m_{изм} = 0,5 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} \cdot (4,64 \text{ см})^3 = 0,5 \cdot 99,8833024 \text{ г} \approx 49,94165$ г.

2. Далее определим абсолютную погрешность прямого измерения длины ребра, $\Delta l$. В условии задачи не указан класс точности измерительного прибора. В таких случаях принято считать, что абсолютная погрешность прямого измерения равна половине цены наименьшего деления шкалы прибора. Цена деления определяется по последнему значащему разряду в записи результата измерения. Для $l_{изм} = 4,64$ см последним значащим разрядом является сотая доля сантиметра (0,01 см). Следовательно, абсолютная погрешность измерения длины составляет:

$\Delta l = \frac{0,01 \text{ см}}{2} = 0,005$ см.

Плотность поролона $\rho$ дана как константа, поэтому будем считать её точным значением, погрешность которого равна нулю ($\Delta \rho = 0$).

3. Теперь рассчитаем максимальную абсолютную погрешность косвенного измерения массы, $\Delta m$. Проще всего это сделать через относительные погрешности. Относительная погрешность $\epsilon$ — это отношение абсолютной погрешности к измеряемой величине ($\epsilon = \Delta x / x$).

Для произведения и частного относительные погрешности складываются. Для степенной функции $y = x^n$ относительная погрешность равна $\epsilon_y = n \cdot \epsilon_x$.

Для нашей формулы $m = \rho l^3$ относительная погрешность массы $\epsilon_m$ будет равна:

$\epsilon_m = \epsilon_{\rho} + \epsilon_{l^3} = \epsilon_{\rho} + 3\epsilon_l$

Поскольку мы приняли $\Delta \rho = 0$, то $\epsilon_{\rho} = 0$. Тогда:

$\epsilon_m = 3\epsilon_l = 3 \cdot \frac{\Delta l}{l_{изм}}$

Подставим числовые значения:

$\epsilon_m = 3 \cdot \frac{0,005 \text{ см}}{4,64 \text{ см}} \approx 0,00323275$

Абсолютная погрешность массы $\Delta m$ находится из её относительной погрешности:

$\Delta m = m_{изм} \cdot \epsilon_m \approx 49,94165 \text{ г} \cdot 0,00323275 \approx 0,16147$ г.

4. Округлим полученные значения согласно правилам обработки результатов измерений. Абсолютную погрешность принято округлять до одной или двух (если первая значащая цифра 1 или 2) значащих цифр. В нашем случае $\Delta m \approx 0,16147$ г, первая значащая цифра 1, поэтому для сохранения точности округляем до двух значащих цифр:

$\Delta m \approx 0,16$ г.

Значение измеряемой величины $m_{изм}$ округляется до того же десятичного разряда, что и погрешность. Погрешность $\Delta m$ имеет значащие цифры до сотых, значит, и массу $m_{изм}$ нужно округлить до сотых:

$m_{изм} \approx 49,94$ г.

5. Запишем окончательный результат в стандартной форме $m = m_{изм} \pm \Delta m$.

$m = (49,94 \pm 0,16)$ г.

Ответ: $m = (49,94 \pm 0,16)$ г.