Номер 1, страница 58 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Механика. Глава 2. Основы кинематики. Параграф 11. Криволинейное движение. Равномерное движение по окружности. Задания и упражнения - номер 1, страница 58.

Условие.

1. Уравнения равномерного движения тела (материальной точки) по окружности имеют вид: $x = 3\cos\pi t, y = 3\sin\pi t$. Чему равен радиус окружности?

Решение.

1. Дано:
Уравнения движения тела:
$x = 3\cos(\pi t)$
$y = 3\sin(\pi t)$

Найти:
Радиус окружности $\text{R}$ - ?

Решение:
Данные уравнения, $x = 3\cos(\pi t)$ и $y = 3\sin(\pi t)$, являются параметрическими уравнениями, описывающими траекторию движения точки. Чтобы определить форму траектории, мы можем исключить параметр времени $\text{t}$.
Сначала выразим тригонометрические функции через координаты $\text{x}$ и $\text{y}$ из данных уравнений:
$\cos(\pi t) = \frac{x}{3}$
$\sin(\pi t) = \frac{y}{3}$
Далее, используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$.
Подставим в это тождество наши выражения для $\sin(\pi t)$ и $\cos(\pi t)$:
$(\frac{y}{3})^2 + (\frac{x}{3})^2 = 1$
$\frac{y^2}{9} + \frac{x^2}{9} = 1$
Умножив обе части уравнения на 9, получим:
$x^2 + y^2 = 9$
Это уравнение представляет собой каноническое уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$, которое в общем виде записывается как $x^2 + y^2 = R^2$, где $\text{R}$ — радиус окружности.
Сравнивая наше уравнение $x^2 + y^2 = 9$ с общей формой, мы видим, что $R^2 = 9$.
Отсюда находим радиус:
$R = \sqrt{9} = 3$

Ответ: 3.